:小专题(四) 中点四边形问题
顺次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.根据三角形中位线定理可知,中点四边形一定是平行四边形,且中点四边形面积是原来四边形面积的一半.如果原来的四边形是平行四边形或特殊的平行四边形,其中点四边形又会呈现更多的性质.
类型1 判断中点四边形的形状
1.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,所得图形一定是 (C)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
2.如图,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)判断四边形EFGH的形状,并说明你的理由;
(2)连接BD和AC,当BD,AC满足何条件时,四边形EFGH是正方形.
解:(1)四边形EFGH是平行四边形.
理由:连接AC.∵E,F分别是AB,BC的中点,
∴EF∥AC,且EF=1/2AC.
同理,HG∥AC,且HG=1/2AC,
∴EF∥HG,且EF=HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)当BD=AC,且BD⊥AC时,四边形EFGH是正方形.
理由:连接AC,BD.
∵E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,
∴EF=GH=1/2AC,GH=FG=1/2BD,EH∥BD,GH∥AC.
∵BD=AC,BD⊥AC,
∴EH=EF=FG=GH,EH⊥GH,
∴四边形EFGH是菱形,且∠EHG=90°,
∴菱形EFGH是正方形.
类型2 探求中点四边形的性质
3.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,对角线AC=3,BD=2,则四边形EFGH的周长为 (B)
A.4 &
