:备战2020高考数学（理科）全真模拟卷及解析（十五）

:备战2020高考数学（理科）全真模拟卷及解析（十五）
（本试卷满分150分，考试用时120分钟）
第I卷（选择题)
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数满足（为虚数单位),则复数（  ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
运用复数的除法运算法则求出复数,在根据共轭复数的定义求出复数.
【详解】
由题意,可变形为.
则复数.
故选：B.
【点睛】
本题考查了复数的除法运算法则和共轭复数的定义,属于基础题.
2．已知：，，则是成立的（  ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充分必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数，先解出命题中的取值范围，由不等式对
恒成立，得出，解出实数的取值范围，再由两取值范围的包含关系得出命题和的充分必要性关系。
【详解】
构造函数，对，恒成立，
则，解得，
，因此，是的充分但不必要条件，故选：A.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性：
（1），则“”是“”的充分不必要条件；
（2），则“”是“”的必要不充分条件；
（3），则“”是“”的充要条件；
（4），则“”是“”的既不充分也不必要条件。
3．已知，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：

本题选择A选项.
4．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为元，购买3只康乃馨所需费用为元，则的大小关系是（    ）．
A． B． C． D．的大小关系不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
设出玫瑰与康乃馨的单价，根据题意列出不等式，求出的表达式，利用不等式的性质求解即可.
【详解】
设玫瑰与康乃馨的单价分别为(单位为：元)，则有.
所以有，因此.
可得：；
可得：，因此.
故选：A
【点睛】
本题考查了数学阅读能力，考查了不等式性质的应用，考查了数学建模思想，考查数学运算能力.
5．已知函数，,若，则a,b,c的大小关系为（    ）
A．a B．c C．b D．b 【答案】C
【解析】
解：依题意，有，则为奇函数，且在上单调递增，
所以为偶函数．
当时，有，
任取，则，由不等式的性质可得，
即，所以，函数在上递增，
因此，，故选：C．
【点睛】
本题考查函数值大小的比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理与转化能力，属于中档题.
6．鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（  ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意知为鸡的数量，为兔的数量，为足的数量，根据题意可得出判断条件.
【详解】
由题意可知为鸡的数量，为兔的数量，为足的数量，根据题意知，在程序框图中，当计算足的数量为时，算法结束，因此，判断条件应填入“”.
故选B.
【点睛】
本题考查算法程序框图中判断条件的填写，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】结合题意，绘制图像

要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为，所以斜率为，故选A。
【点睛】
本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等。
8．函数在上的图象大致是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断出是偶函数，排除C、D，再由的正负排除B，从而得到答案.
【详解】
因为
，
所以函数是偶函数，排除C、D，
又当时，，排除B，
故选：A.
【点睛】
本题考查函数图像的识别，属于简单题.
9．抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是(  )
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线方程先计算出的值，然后再根据焦半径公式计算出的纵坐标.
【详解】
因为是抛物线的方程，所以；
因为，所以，所以，
故选：D.
【点睛】
本题考查抛物线的焦半径公式的应用，难度较易.对于形如的抛物线，抛物线上任意一点到其焦点的距离为；对于形如的抛物线，抛物线上任意一点到其焦点的距离为.
10．由曲线 ，围成的封闭图形的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
围成的封闭图形的面积为，选C.
11．已知函数为定义在上的奇函数,当时,.若函数存在四个不同的零点,则的取值范围为（  ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
当时,对函数进行求导，判断出函数的单调性,再根据奇函数的性质画出函数的一致图象,最后利用数形结合思想示出的取值范围.
【详解】
当时, ,故在上单调递增,因为.故f在上单调递战，在上单调递增.如图为大致图象.由存在四个不同的零点知与的图象有四个不同交点,故.
故选：A

【点睛】
本题考查了已知函数的零点个数求参数取值问题,利用数形结合是解题的关键.
12．已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（  ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对进行变形，得到，令，，即的整数个数为3，再由的函数图像和的函数图像，写出限制条件，得到答案
【详解】

，即
设，
其中时，
时，
即符合要求
，所以时，，单调递减
，，单调递增，为极小值.
有三个整数解，则还有一个整数解为或者是
①当解集包含时，时，
所以需要满足即，解得
②当解集包含时，需要满足即
整理得，而，所以无解集，即该情况不成立.
综上所述，由①②得，的范围为
故选D项.
【点睛】
利用导数研究函数图像，两个函数图像的位置关系与解析式大小之间的关系，数形结合的数学思想，题目较综合，考查内容比较多，属于难题.

第II卷（非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。
13．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为                 .
【答案】
【解析】解析：依题意得y′=ex，因此曲线y=ex在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y-e2=e2（x-2），当x=0时，y=-e2即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：
14．展开式中的系数为___________（用数值作答）
【答案】6
【解析】
【分析】
分别计算中的常数项,含的项,含的项和含的项再分析即可.
【详解】
由题, ,
故展开式中含的项为
.
展开式中的系数为6.
故答案为：6
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的运用,属于基础题型.
15．已知当时，均有不等式成立，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
可分类讨论，时，恒成立，只要研究即可，这可用导数研究；时，可得与都是增函数，且都有唯一零点，因此只要使它们的零点相同即可满足题意；直接验证．
【详解】
时，不等式为，不恒成立；
时，，令，，由得，
当时，，递增，时，，递减，
∴时，，要使命题成立，则，；
时，函数是增函数，在唯一零点，
，，即增函数，，但当时，，所以有唯一零点，要使不等式恒成立，只有，
∴，，
综上的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查用导数研究不等式恒成立问题．解题关键是把不等式中两个式子和分别研究，减少了难度．否则把不等式左边作为一个函数研究将会非常难，甚至不可进行．
16．如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱上一点，若与平面所成角的正切值为2，则的最小值为________.

【答案】
【解析】
【分析】
先找出与平面所成角，再利用正切值为2，证得E为PC的中点.根据所给各边的长度，求出的斜弦值，再将翻折至与平面PAB共面，利用余弦定理求出，即为的最小值.
【详解】
取CD的中点H，连接BH，EH.
依题意可得，.因为平面ABCD，所以，
从而平面ABCD，
所以BE与平面PCD所成角为，
且，则，则E为PC的中点.
    
在中，.
因为，，，
所以，所以.
将翻折至与平面PAB共面，如图所示，则图中，
当F为AE与PB的交点时，取得最小值，此时，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查空间中线面垂直、线面角、余弦定理等知识的交会，考查空间相象能力和运算求解能力，将空间中线段和的最值问题，转化成平面问题，对转化与化归思想的考查要求较高，属于难题.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17．在中，内角A、B、C的对边分别记为a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若的面积，，求的周长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）用诱导公式、降幂公式化简，再用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式化简，最后再由正弦定理化角为边得结论；
（2）已知可求得，由面积公式可得，再由余弦定理结合（1）的结论可求得，从而得三角形周长．
【详解】
（1）由及得：

即
由正弦定理得：
所以，即
所以．
（2）由，得：
又，所以
又由余弦定理得：

又由（1）得：，所以
所以的周长．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系、两角和的正弦公式等，考查知识点较多，但也较基本．熟练掌握三角函数的公式是解题基础，根据条件选用恰当的公式是解题关键．
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，， 平面，，，为的中点．

（1）求证：； 
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）判断直线与平面的位置关系，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）相交，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意先证明平面，即可得到答案；
（2）以为坐标原点，以为轴，以为轴，以过点且与平行的直线为轴，
建立空间直角坐标系，求出、的坐标，利用公式即可得到结果；
（3）求出平面的一个法向量与向量，根据与零的关系，作出判断.
【详解】
（1）连结．
因为底面是菱形 ，所以.
又因为平面，平面，
所以.
又因为，
所以平面.
又因为平面，
所以.    
（2）设，交于点.
因为底面是菱形 ，
所以，
又因为平面，
所以，.
如图，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以过点且与平行的直线为轴，
建立空间直角坐标系，

则，，，， ， ，. 
则，，
设异面直线与所成角为，则，
，
所以与所成角的余弦值为.    
（3）直线与平面相交.证明如下：
由（2）可知，，，，
设平面的一个法向量为，
则   即 令，得．
则，
所以直线与平面相交．
【点睛】
本题考查线面的位置关系，考查异面直线所成角的度量，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
19．某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得分，投放错误得分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分．从所有参赛选手中随机抽取人，将他们的得分按照，，，，分组，绘成频率分布直方图如图： 

（1）分别求出所抽取的人中得分落在组和内的人数；
（2）从所抽取的人中得分落在组的选手中随机选取名选手，以表示这名选手中得分不超过分的人数，求的分布列和数学期望；
（3） 如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．
【答案】（1）抽取的人中得分落在组的人数有人，得分落在组的人数有人；（2）分布列见解析，1.2；（3）答案不唯一，具体见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图即可得到满足题意的人数；
（2）的所有可能取值为，，，求出相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望；
（3）该选手获得100分的概率是，结合此数据作出合理的解释.
【详解】
（1）由题意知，所抽取的人中得分落在组的人数有（人），
得分落在组的人数有（人）．
所以所抽取的人中得分落在组的人数有人，得分落在组的人数有人．  
（2）的所有可能取值为，，． 
， ， ．
所以的分布列为




所以的期望．   
（3）答案不唯一．
答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：
该选手获得100分的概率是，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．
答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：
该选手获得100分的概率是，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列与期望，概率的理解，考查分析问题解决问题的能力.
20．已知椭圆过点，且椭圆的一个顶点的坐标为．过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，（，不同于点），直线与直线：交于点．连接，过点作的垂线与直线交于点．
（1）求椭圆的方程，并求点的坐标；
（2）求证：，，三点共线．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列方程组，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标；
（2）讨论直线的斜率，利用是平行的证明，，三点共线．
【详解】
（1） 因为点在椭圆上，且椭圆的一个顶点的坐标为，
所以解得
所以椭圆的方程为．
所以椭圆的右焦点的坐标为．  
（2）① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为．
显然，，或，．
当，时，直线的方程为，点的坐标为．
  所以．
直线的方程为，点的坐标为．
则，．
所以，所以，，三点共线．
同理，当，时，，，三点共线．
② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由得．
且．
设，，则，．
直线的方程为，点的坐标为．
所以．
直线的方程为，点的坐标为．
则，．
所以
，
，
，
，
，
 
．
所以与共线，
所以，，三点共线．
综上所述，，，三点共线．
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．已知函数．
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）在曲线上是否存在点P，使得过点P可作三条直线与曲线相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）当时，，；当时，，；当时，，；（2）存在，.
【解析】
【分析】
（1）求出导数，确定函数的单调性，然后按分类讨论；
（2）假设存在符合条件的点，同时设切点为，由导数几何意义得即（*），问题转化为关于的方程（*）存在三个不同实根．然后用导数研究函数的零点．
【详解】
（1）由题意得：
当时，；
当时，；
当时，．
即在单调递增，在单调递减，在单调递增
又的零点分别为，0，
所以当时，，；
当时，，；
当时，，．
（2）假设存在符合条件的点，切点设为
所以即（*）
故问题转化为关于的方程（*）存在三个不同实根．
令，则
当时，，在R上单调递增，不合题意；
当时，易知在单调递增，在单调递减，在单调递增
从而，即
解得：
当时，易知在单调递增，在单调递减，在单调递增
从而，即
解得：
综上，存在符合条件的点P，其横坐标的取值范围为．
【点睛】
本题考查用导数研究函数的最值，考查导数的几何意义，考查方程根的分布与函数零点问题．
掌握基本方法即可解决问题，但对运算求解能力有一定的要求．

（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．在极点为O的极坐标系中，直线上有一动点P，动点M在射线OP上，且满足，记M的轨迹为C．
（1）求C的极坐标方程，并说明C是何种曲线；
（2）若，，均在曲线C上，求的面积．
【答案】（1），C是除去极点的圆；（2）.
【解析】
【分析】
（1）既然是求极坐标方程，因此设，，根据已知条件得出它们极坐标的关系，代入已知极坐标方程可得；
（2）由曲线的极坐标方程，求出，根据三点的极角求出，从而得，及，，然后可得三角形面积．
【详解】
（1）设，，由题意得
所以
又，所以
C是除去极点的圆：．
（2）由已知，，
因为
所以且
∴

．
【点睛】
本题考查求极坐标方程，考查极坐标方程的应用．注意极坐标的意义即可．
23．已知函数．
（1）求证：；
（2）若实数a、b、c满足，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值三角不等式证明；
（2）用柯西不等式证明．
【详解】
（1）因为
所以．
（2）因为，所以由柯西不等式得


（当且仅当时取等号）．
【点睛】
本题考查绝对值三角不等式和柯西不等式．掌握这两个不等式是解题关键．