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备战2020高考数学（理科）全真模拟卷及解析（十四）
（本试卷满分150分，考试用时120分钟）
第I卷（选择题)
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
2．若，，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用集合的补集的定义求出的补集；利用子集的定义判断出．
【详解】
解：，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系．
3．已知，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同角三角函数的基本关系，由，化为正切即可求解.
【详解】
,
且，
，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系，弦化切的思想，属于中档题.
4．已知向量，满足，则（ ）．
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，平方得到，再计算，得到答案.
【详解】
故选
【点睛】
本题考查了向量模的计算，先计算出是解题的关键.
5．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由对数的运算化简可得，，结合对数函数的性质，求得，又由指数函数的性质，求得，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，对数的运算公式，可得，
，
又由，所以，即，
由指数函数的性质，可得，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．设为等差数列，，为其前项和，若，则公差( )
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合等差数列的性质和前n项和的定义求解公差即可.
【详解】
由题意可得：，
则，等差数列的公差.
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查数列的前n项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．某校高二（1）班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是和，现甲、乙各投篮一次，恰有一人进球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用相互独立事件的概率乘法公式求得 甲投进而乙没有投进的概率，以及乙投进而甲没有投进的概率，相加即得所求．
【详解】
甲投进而乙没有投进的概率为 ，乙投进而甲没有投进的概率为,故甲、乙各投篮一次，恰有一人投进球的概率是 ,
故选：D
【点睛】
本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
8．函数在区间上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，分析函数的奇偶性可得函数f（x）为偶函数，据此可以排除A、D；又由x→0时，xsinx+lnx＜0，分析可得答案．
【详解】
根据题意，f（x）＝xsinx+ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，
有f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）+ln|（﹣x）|＝xsinx+ln|x|＝f（x），即函数f（x）为偶函数，
在区间[﹣2π，0）∪（0，2π]上关于y轴对称，排除A、D；
又由x→0时，xsinx+lnx＜0，排除C；
故选：B．
【点睛】
本题考查函数图象的判断，考查函数的奇偶性，此类题目一般用排除法分析．
9．如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三棱锥的体积关系可得,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得,根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.
【详解】
根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为,所以,所以,
又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线,
设外接球的半径为,所以,
所以,当且仅当时,等号成立,
所以,
所以该三棱锥外接球体积为.
故选:C
【点睛】
本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题.
10．如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】
为等边三角形，不妨设
为双曲线上一点，
为双曲线上一点,
由
在中运用余弦定理得：
,
故答案选
点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率。
11．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．7
【答案】D
【解析】
【分析】
执行程序框图，依次写出的值，第四次循环后: ;此时，不成立,输出s的值为7.
【详解】
执行程序框图，有,
第一次循环后: ,
第二次循环后: ,第三次循环后: ,第四次循环后: ,
此时，不成立,输出s的值为7.
故选: D.
【点睛】
本题考查的是算法中流程图和循环结构的应用，是基础题.
12．已知直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据切点处切线斜率等于导数值、切点处直线对应的函数值等于曲线对应的函数值，得到关于等式，由此将表示成关于的函数形式，构造新函数分析的最大值.
【详解】
设切点，则由得，
又由，得，则，
有，令，则，
故当时；当时，故当时取得极大值也即最大值.
故选：C.
【点睛】
本题考查导数的几何意义以及构造函数求解最值，难度较难.(1)分析导数的切线问题，注意两个点：切线的斜率等于切点处曲线的导数值、切线对应的值等于曲线对应的函数值；(2)构造函数求解最值时，注意分析新函数的单调性以及定义域，然后分析最值即可.
第II卷（非选择题)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。
13．若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，求出的导数，计算可得的值，由导数的几何意义可得，由三角函数的恒等变形公式可得，代入数据计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，曲线，其导数，
，
，
则；
故答案为：
【点睛】
本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于中档题．
14．法国数学家布丰提出一种计算圆周率的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对；再统计两数的平方和小于1的数对的个数；最后再根据统计数来估计的值.已知某同学一次试验统计出，则其试验估计为______.
【答案】3.12
【解析】
【分析】
横、纵坐标都小于1的正实数对构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概率的计算公式,及试验所得结果,即可估计的值.
【详解】
横、纵坐标都小于1的正实数对构成第一象限内的一个正方形,
两数的平方和小于1的数对为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:
则阴影部分与正方形面积的比值为
由几何概型概率计算公式可知
解得
故答案为:
【点睛】
本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题.
15．在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，
在堑堵中，，，堑堵的顶点到直线的距离为m，到平面的距离为n，则的取值范围是________.
【答案】.
【解析】
【分析】
设，，利用等面积法和等体积法求出m，n关于a的不等式，根据a的范围得出的值．
【详解】
设，，
则，，，且B到平面的距离为．
，，
，
又，
，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了空间距离的计算，棱锥的体积公式，属于中档题．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于，两点，，分别交轴于，两点，若的周长为16，则的最大值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
由题意可得的周长为32，利用双曲线的定义，可得，进而转化，变形后利用均值不等式求解即可.
【详解】
如图：
由的周长为16，所以的周长为32，AB是双曲线的通径，，
，
可得，可得
则，
当且仅当，即时等号成立，
故填.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义，基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于难题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17．已知数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式.
(2)求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
由,当时，；当时，，从而可得出结论；（2）由（1)可得，= =,利用“裂项相消”可求出数列的前项和.
【详解】
(1)当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=n2+2n-=2n+1.
当n=1时,也符合上式,
故an=2n+1.
（2）因为= =,
故Tn=
==.
【点睛】
裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
18．如图1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点，连接，根据条件证明，即；
（2）以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：取的中点，连接.
∵，∴为的中点.
又为的中点，∴.
依题意可知，则四边形为平行四边形，
∴，从而.
又平面，平面，
∴平面.
（2），且，
平面，平面，
，
，且，
平面，
以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，
则，，，，，
，，，.
设平面的法向量为，
则，即，
令，得.
设平面的法向量为，
则，即，
令，得.
从而，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法.
19．随着通识教育理念的推广及高校课程改革的深入，选修课越来越受到人们的重视.国内一些知名院校在公共选修课的设置方面做了许多有益的探索，并且取得了一定的成果.因为选修课的课程建设处于探索阶段，选修课的教学、管理还存在很多的问题，所以需要在通识教育的基础上制定科学的、可行的解决方案，为学校选修课程的改革与创新、课程设置、考试考核、人才培养提供参考.某高校采用分层抽样法抽取了数学专业的50名参加选修课与不参加选修课的学生的成绩，统计数据如下表：
成绩优秀 成绩不够优秀 总计
参加选修课 16 9 25
不参加选修课 8 17 25
总计 24 26 50
（1）试运用独立性检验的思想方法分析：你能否有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关”，并说明理由；
（2）如果从数学专业随机抽取5名学生，求抽到参加选修课的学生人数的分布列和数学期望（将频率当做概率计算）.
参考公式：，其中.
临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）没有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关；（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）由卡方公式计算，再与临界值表对照可得结论；
（2）由题意知，数学专业中参加选修课的学生的概率为.随机抽取5名学生，抽到参加选修课的学生人数的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，利用二项分布的概率公式可计算出概率得分布列，由期望公式可求得期望．
【详解】
（1）由题意知，.
没有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关”
（2）由题意知，数学专业中参加选修课的学生的概率为.
随机抽取5名学生，抽到参加选修课的学生人数的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.
的分布列为
0 1 2 3 4 5
P
【点睛】
本题考查独立性检验，考查随机事件的概率分布列与期望，掌握二项分布的概率公式是解题基础．
20．已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，其渐近线方程是，双曲线过点
(1)求双曲线方程
(2)动直线经过的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问:是否存在直线,使G平分线段MN，证明你的结论
【答案】(1)所求双曲线方程为="1" ；
(2)所求直线不存在．
【解析】
本试题主要是考查了双曲线方程的求解，已知直线与双曲线的位置关系的综合运用．
（1）利用已知中的渐近线方程是，双曲线过点
那么设出双曲线的标准方程，然后代入点和a,b的关系得到求解．
（2）假设存在直线，使G(2，2)平分线段MN，那么利用对称性，分别设出点的坐标，那么联立方程组，可知斜率，得到直线的方程，从而验证是否存在．
(1)如图，设双曲线方程为=1 …………1分
由已知得………………………………………3分
解得…………………………………………………5分
所以所求双曲线方程为="1" ……………………6分
(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），
∴其重心G的坐标为(2，2）…………………………………………………………8分
假设存在直线，使G(2，2)平分线段MN，
设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有
，∴kl=……………………10分
∴l的方程为y=(x－2)+2,12分
由,消去y,整理得x2－4x+28="0"
∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线不存在…………………………………………14分
21．已知函数，.
（1）若存在极小值，求实数的取值范围；
（2）设是的极小值点，且，证明：.
【答案】(1) .(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）先求得导函数，根据定义域为，可构造函数，通过求导及分类讨论，即可求得的取值范围。
（2）由（1）令，通过分离参数得，同时求对数，根据函数，可得。构造函数及，由导数即可判断的单调情况，进而求得的最小值，结合即可证明不等式成立。
【详解】
（1）.
令，
则，
所以在上是增函数.
又因为当时，；
当时，.
所以，当时，，，函数在区间上是增函数，不存在极值点；
当时，的值域为，
必存在使.
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
所以存在极小值点.
综上可知实数的取值范围是.
（2）由（1）知，即.
所以"，
.
由，得.
令，显然在区间上单调递减.
又，所以由，得.
令，
，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以，当时，函数取最小值，
所以，即，即，
所以，，
所以，
即.
【点睛】
本题考查了导数在研究函数单调性、极值和最值中的综合应用，利用导数证明不等式成立，变换过程复杂，需要很强的逻辑推理能力，是高考的常考点和难点，属于难题。
（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，已知曲线，将曲线上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，又已知直线（是参数），且直线与曲线交于，两点.
（1）求曲线的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
（2）设定点，求.
【答案】(1)，表示焦点坐标为，长轴长为4的椭圆.
(2).
【解析】
【分析】
（1）先把曲线的极坐标方程化成直角方程，在利用变换得到曲线，它是椭圆．
（2）点在直线上，可用直线参数方程中参数的几何意义来求．
【详解】
（1）曲线的直角坐标方程为：即．
∴曲线的直角坐标方程为，
∴曲线表示焦点坐标为，长轴长为的椭圆．
（2）将直线的参数方程代入曲线的方程中，得．
设两点对应的参数分别为，
∴，∴．
【点睛】
如果直线的参数方程是 （是参数且，是直线的倾斜角），那么表示与之间的距离．因此，在参数方程中，针对直线上的动点到定点的距离和、积或差等问题（动点和定点都在该直线上），可用直线的参数方程结合韦达定理来考虑．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知实数正数x, y满足．
（1）解关于x的不等式；
（2）证明：
【答案】(1).(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用零点分段法即可求解.
（2）利用“1”的转换，以及基本不等式即可证明.
【详解】
（1）
解得，所以不等式的解集为
（2）解法1： 且，
.
当且仅当时，等号成立.
解法2： 且，
当且仅当时，等号成立.
【点睛】
主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题.对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法.而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式.
