:备战2020高考数学（理科）全真模拟卷及解析（九）

:备战2020高考数学（理科）全真模拟卷及解析（九）
（本试卷满分150分，考试用时120分钟）
第I卷（选择题)
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合，根据交集定义计算．
【详解】
集合，．
故选：B．
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
2．设复数满足，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对于复数除法计算，通过分母实数化计算的值，再求的值.
【详解】
因为，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的计算以及共轭复数的概念，难度较易.分式型复数计算，常用的方法是分母实数化.
3．命题“，”的否定是（   ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】
 根据全称命题与特称命题的关系，可知命题“”
的否定为“”，故选D.
4．若，则（    ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

．
故选．
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
5．设向量，满足，，则(   )
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合向量的运算法则求解其模即可.
【详解】
由题意结合向量的运算法则可知：
.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．已知数列为等比数列，为等差数列的前项和，且，， ，则（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质，求得，再利用等差数列的前n项和公式，即可求解的值，得到答案．
【详解】
由题意，等比数列为等比数列，满足，， 
根据等比数列的性质，可得，可得，
所以，则，故选A．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的性质和等差数列的前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7．在的二项展开式中，的系数为（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为,所以容易得C正确.
8．某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（    ）

A．16 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可得该几何体为长方体被与底面成一定角度的平面截取后的几何体.画出图像逐个面求解即可.
【详解】
画出该几何体的主观图,由三视图知,
,.
故,,
,.
故表面积 

故选：D
【点睛】
本题主要考查了根据三视图求几何体的表面积问题,需要根据三视图画出主观图进行分析,属于中等题型.
9．将甲、乙等6位同学平均分成正方，反方两组举行辩论赛，则甲、乙被分在不同组中的概率为(   )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式确定满足题意的概率值即可.
【详解】
由题意可知，甲乙被分在不同组的分组组数为：，所有的分组组数为：，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.
本题选择C选项.
【点睛】
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
10．已知函数是一个求余数函数，表示除以的余数，例如.如图是某个算法的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，根据题意，大于的约数有：共个，即可得解.
【详解】
模拟执行程序框图，可得：
，，，
满足条件，，；
满足条件，，；
满足条件，，；
满足条件，，；
…
，可得程序框图的功能是统计大于的约数的个数，由于约数有：共个，故．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的的值是解题的关键，属于基础题．
11．已知函数，.若，，，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算的值域为，再计算在上的值域为，根据题意得到，计算得到答案.
【详解】
，，所以的值域为.
因为，所以在上的值域为
依题意得，则解得.
故选：
【点睛】
本题考查了根据函数值域求参数范围，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力.
12．已知是抛物线的焦点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线交于，两点，若为等边三角形，则的离心率（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出，的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为：，
联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程，
解得，可得，
为等边三角形，可得，即有，
则．
故选：D．
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．
第II卷（非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。
13．设曲线在x=1处的切线方程是，则________；
【答案】 
【解析】因为，所以由导数的几何意义及题设条件可得切线的斜率，解之得，应填答案 。
14．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.

【答案】375
【解析】
【分析】
先求得元件和并联电路正常工作的概率，乘以元件正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出台仪器中该部件的使用寿命超过小时的平均值.
【详解】
由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为，则部件正常工作超过10000小时的概率为，
又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为台.
故答案为：375
【点睛】
本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于基础题.
15．在三棱锥中，，，两两垂直，，，三棱锥的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据侧面积计算得到，再计算半径为，代入表面积公式得到答案.
【详解】
三棱锥的侧面积为，所以
故该三棱锥外接球的半径为：，球的表面积为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
16．已知实数x、y满足条件（i为虚数单位），则的最小值是_____
【答案】4
【解析】
【分析】
本题本质是线性规划问题，先作出不等式组对应的区域，再利用复数的几何意义将的最大值和最小值转化成定点与区域中的点的距离最大与最小的问题，利用图形求解．
【详解】
如图，作出对应的区域，由于z＝x+yi（i为虚数单位），
所以表示点（x，y）与D（7，﹣3）两点之间的距离，
由图象可知的最小值为D到A（3，﹣3）的距离，
即，
故答案为：4．

【点睛】
本题考查了复数的模的几何意义，考查了一定点与区域中的一动点距离最值的问题，利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17．在中，角，、的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，且，求的面积.
【答案】(1) . (2) 
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理得到，计算得到答案.
（2）化简得到，即，再计算得到，代入面积公式得到答案.
【详解】
（1）∵，∴.∵，∴.
（2）∵
∴，
∴，即，即.
∵，∴.∵，∴.
∴.
【点睛】
本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.
18．如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，，点在线段上，，.

（1）证明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析 (2) 
【解析】
【分析】
（1）连接，证明得到四边形为平行四边形，故得到证明.
（2）作于，以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，计算平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.
【详解】
（1）证明：连接，因为底面为梯形，，，，
则，且，
所以四边形为平行四边形，则.
又平面，平面，所以平面.

（2）作于，以点为坐标原点，分别以，，所
在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
所以
因为二面角为锐角，所以其余弦值为.
【点睛】
本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
19．2019年6月，国内的运营牌照开始发放.从到，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：
用户分类 预计升级到的时段 人数
早期体验用户 2019年8月至2019年12月 270人
中期跟随用户 2020年1月至202l年12月 530人
后期用户 2022年1月及以后 200人

我们将大学生升级时间的早晚与大学生愿意为套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的）.

（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到的概率；
（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以表示这2人中愿意为升级多支付10元或10元以上的人数，求的分布列和数学期望；
（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.
【答案】（1）（2）详见解析（3）事件虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析
【解析】
【分析】
（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）由题意的所有可能值为，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.
（3）设事件为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐”，得到七概率为，即可得到结论.
【详解】
（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即.
（2）由题意的所有可能值为，
记事件为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级多支付10元或10元以上”，
事件为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级多支付10元或10元以上”，
由题意可知，事件，相互独立，且，，
所以，

，
，
所以的分布列为
0 1 2
0.18 0.49 0.33

故的数学期望.
（3）设事件为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐”，那么.
回答一：事件虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.
回答二：事件发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.
【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
20．已知直线与抛物线：交于，两点，为弦的中点，过作的垂线交轴于点.
（1）求点的坐标；
（2）当弦最长时，求直线的方程.
【答案】(1) . (2) 或.
【解析】
【分析】
（1）设，，代入抛物线相减得到，再根据计算得到答案.
（2）直线的方程为，联立方程，根据韦达定理得到，
，代入计算得到得到答案.
【详解】
（1）设，，，
则两式相减得.
因为，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，
所以.
因为，所以，
解得，所以点的坐标为.
（2）由（1）知，直线的斜率一定存在，且不为0，设直线的斜率为，
则，即，所以直线的方程为.
联立得，
则，.
由，可得，
所以.
设，令，
可知，此时，即，
所以当弦最长时，直线的方程为或.
【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.
21．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求，的值和的单调区间；
（2）若对任意的，恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1），，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）3.
【解析】
【分析】
（1）求导得到，根据切线方程计算得到，，代入导函数得到函数的单调区间.
（2）讨论，两种情况，变换得到，设
，求函数的最小值得到答案.
【详解】
（1），由切线方程，知，，
解得，.
故，，
由，得；由，得.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）①当时，恒成立，则.
②当时，恒成立等价于对恒成立.
令，，.
令，，
则对恒成立，所以在上单调递增.
又，，所以，.
当时，；当时，.
所以，又，
则，
故，整数的最大值为3.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.

（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.
（1）求，，的值；
（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.
（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，，计算得到答案.
【详解】
（1）由，得，则，即.
因为，，所以.
（2）将代入，得.
设，两点对应的参数分别为，，则，.
所以.
【点睛】
本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）分别计算，，三种情况，综合得到答案.
（2）化简得到，利用绝对值三角不等式得到
，解不等式计算得到答案.
【详解】
（1）当时，，解得；
当时，，解得，则；
当时，，解得，则.
综上所述：不等式的解集为.
（2）
，当时等号成立.
若对任意，不等式恒成立，即，
解得或.
【点睛】
本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.