:备战2020高考数学（理科）全真模拟卷及解析（八）
（本试卷满分150分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，即,故选：C
2.已知,那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
3.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4>
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2
【答案】A
【解析】由P(ξ<4>
4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )
A．6斤 B．9斤
C．9.5斤
D．12斤
【答案】A
【解析】依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A.
5.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【答案】D
【解析】若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行，故A错； 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行，也可能异面， 故B错；若m⊥n，m⊂α，n⊂β则α与β可能相交，也可能平行，故C错；对于D项，由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又知n∥β，故α⊥β，所以D项正确．
6.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵是定义在上的奇函数，∴.
又当时，，∴.
又为奇函数，∴，∴，
∴.
当时，由得，解得；
当时，无解；
当时，由得，解得.
综上，不等式的解集用区间表示为．
7.已知函数恒过定点P，若点P在直线 上，则取得最小值时（ ）
A.1 B. C. D.
【答案】C
【解析】，从而，，当且仅当即时取“=”.
8.在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，从而，
.
9. 在数列{an}中，若对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2为定值，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前100项的和S100＝( )
A．132 B．299 C．68
D．99
【答案】B
【解析】因为在数列{an}中，若对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2为定值，所以an＋3＝an，即数列{an}中各项是以3为周期呈周期变化的．因为a7＝2，a9＝3，a98＝a3×30＋8＝a8＝4，所以a1＋a2＋a3＝a7＋a8＋a9＝2＋4＋3＝9，所以S100＝33×(a1＋a2＋a3)＋a100＝33×9＋a7＝299，故选B.
10. 设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞)
B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞)
D．(0，]∪[4，＋∞)
【答案】A
【解析】由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．
①如图1，当焦点在x轴，即m＜3时，
a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°＝，∴0＜m≤1.
图1 图2
②如图2，当焦点在y轴，即m＞3时，
a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°＝，∴m≥9.
综上，m∈(0,1]∪[9，＋∞)，故选A.
11.在中，，，、是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C.
D．
【答案】B
【解析】以， 为轴建立直角坐标系，则：,，设，假设，因为，所以，=，又，==所以的取值范围为
12.函数，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y
＝3．已知方程有共4个不等实根，则
=（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【解析】C
【解析】函数f（x）＝ax（a，b∈Z），导数f′（x）＝a，
曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝3，
可得f（2）＝2a3，f′（2）＝a0，
解方程可得a＝1，b＝﹣1，（分数舍去），则f（x）＝x；
方程x﹣1Asin（x﹣1）有x1，x2，x3，x4共4个不等实根，
可令t＝x﹣1，可得tAsint，
由g（t）＝tAsint为奇函数，且t≠0，
可设t1+t3＝0，t2+t4＝0，
g（t1）+g（t3）＝0，g（t2）+g（t4）＝0，
即有f（x1）+f（x3）＝g（t1）+g（t3）+2＝2，
f（x2）+f（x4）＝g（t2）+g（t4）+2＝2，
x1+x2+x3+x4＝4，
则1，故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。
13.设变量x，y满足约束条件，则 的最小值为________.
【答案】
【解析】画出可行域，图略，平移直线y＝-x＋z过点 时，z取得最小值.
14.等比数列的前n项和,则常数=_______.
【答案】1
15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝1－，且b＝5，·＝5，则△ABC的面积是________．
【答案】
【解析】由＝1－及正弦定理，得＝1－，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，所以A＝.因为·＝bccos A＝c＝5，所以c＝2，所以S△ABC＝bcsin A＝×5×2×＝.
16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积与底面积之差最大时，正方形ABCD的边长AB=_________；此时该四棱锥的外接球的表面积与内切球的表面积之比为_____.
【答案】3;
【解析】连接交于点，设重合交于点，
设正方形的边长为，则，
因为该四棱锥的侧面积与底面积之差为，当时最大.
设该四棱锥的外接球的球心为，半径为，
则有，
因为，所以.
则，解得，
等体积法可求得内切球半径为r=.
外接球与内切球表面积之比即为半径的平方之比.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.（12分）设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3>
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
【解析】(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx
＝
＝sin .
因为f＝0，所以－＝kπ，k∈Z，
所以ω＝6k＋2，k∈Z.
又0<ω<3>
(2)由(1)得f(x)＝sin ，
所以g(x)＝sin
＝sin.
因为x∈，
所以x－∈.
当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.
18.（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．
(1)求证：平面BDM∥平面EFC；
(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．
【解析】(1)连接AC，交BD于点N，连接MN，则N为AC的中点，
又M为AE的中点，∴MN∥EC.
∵MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，∴MN∥平面EFC.
∵BF，DE都垂直底面 ABCD，∴BF∥DE.
∵BF＝DE，∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF.
∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，
∴BD∥平面EFC.
又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC.
(2)∵DE⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴DA，DC，DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设AB＝2，则DE＝4，从而D(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,0,2)，A( 2,0,0)，E(0,0,4)，
∴＝(2,2,0)，＝(1,0,2)，
设平面BDM的法向量为n＝(x，y，z)，
则得
令x＝2，则y＝－2，z＝－1，从而n＝(2，－2，－1)为平面BDM的一个法向量．
∵＝(－2,0,4)，设直线AE与平面BDM所成的角为θ，则
sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，
∴直线AE与平面BDM所成角的正弦值为.
19.（12分）某单位为了提高员工的业务水平，举办了一次“岗位技能”大赛，从参赛的青年技师(35岁及35岁以下的技师)和中老年技师(35岁以上的技师)的成绩中各抽取20个进行研究．满分为100分，且均保留到小数点后一位，如95.3.具体成绩如茎叶图所示(以成绩的整数部分为茎，小数部分为叶)，并将这40个成绩分成四组，第一组[95,96)；第二组[96,97)；第三组[97,98)；第四组[98,99]．
(1)根据以上数据写出抽取的20名青年技师成绩的中位数，并补全上面的频率分布直方图；
(2)从成绩在[95,97)之间的技师中随机抽取2个，求其中2人成绩在[95,96)之间的概率；
(3)研究发现从业时间与岗位技能水平之间具有线性相关关系，从上述抽取的40名技师中抽取5名技师的成绩，数据如下表．其中＝15，＝97.1.用最小二乘法求得的回归方程为＝0.16x＋，请完成下表，并根据下表判断该线性回归模型对该组数据的拟合效果．(通常相关指数R2＞0.80时认为线性回归模型对该组数据是有效的)
工龄x年
5
10
15
25
成绩y分
95.2
96.4
97.8
98.5
残差
－0.3
0.1
－0.2
附：R2＝1－.
【解析】(1)将数据按从小到大的顺序排列，第10名和第11名青年技师的成绩分别为97.2和97.4，所以中位数是97.3.
频率分布直方图如图所示．
(2)设所求事件为A，
由已知得成绩在[95,97)之间的技师共有12名，成绩在[95,96)之间的技师共有4名，则P(A)＝＝.
(3)因为＝－0.16＝94.7，
所以＝0.16x＋94.7.
补全统计表如表，
工龄x年
5
10
15
20
25
成绩y分
95.2
96.4
97.6
97.8
98.5
残差
－0.3
0.1
0.5
－0.1
－0.2
R2≈0.94＞0.8，
所以该线性回归模型对该组数据是有效的．
20.（12分）已知点A(m,4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C.
（1）求证：直线BC的斜率为定值；
（2）若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围．
【解析】（1）证明：∵点A(m,4)在抛物线上，
∴16＝m2，∴m＝±4，又m＞0，∴m＝4.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则kAB＋kAC＝＋＝＝0，
∴x1＋x2＝－8.
∴kBC＝＝＝＝－2，
∴直线BC的斜率为定值－2.
（2）设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)
关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则
kPQ＝＝＝＝，∴x0＝1.
∴M(1，－2＋b)．
又点M在抛物线内部，∴－2＋b＞，即b＞.
由得x2＋8x－4b＝0，
∴x3＋x4＝－8，x3x4＝－4b.
∴|BC|＝|x3－x4|＝·＝×.
又b＞，∴|BC|＞10.∴|BC|的取值范围为(10，＋∞)．
21.（12分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若直线为曲线的切线，求证：直线与曲线不可能有2个切点.
【解析】（1）由题意得：定义域为，
令，则，若，则，则，
函数在上单调递增；
若或，有两个零点，，则
其中，；
若，则，，此时，故函数在上单调递增；
若，则，，
此时当和时，，当时，
函数在和上单调递增，在上单调递减
综上所述：当时，函数的单调递增区间为；
当时，单调递增区间为，；单调递减区间为.
（2）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同切点，
不妨令
则处切线的方程为，
处切线的方程为，
为同一直线，
即，整理得：
消去得：…①，令，由与得：，
记，则，
为上的单调减函数，，
从而①式不可能成立，即假设不成立，
若直线为曲线的切线，则直线与曲线不可能有个切点.
（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C分别交于A，B两个不同的点．
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线的普通方程；
（2）若点P坐标为，求的取值范围．
【解析】（1）曲线C的极坐标方程为，得，所以，
直线：若，，若，.
（2）点P坐标为，点P在直线上，设A，B参数分别为，
将直线：（t为参数），代入曲线，
得，所以，
∴．
23.(10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|ax－1|(a>0)．
(1)若不等式f(x)≤2的解集为A，且A⊆(－2,2)，求实数a的取值范围；
(2)若不等式f(x)＋f>对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)由|ax－1|≤2，得－2≤ax－1≤2，又∵a>0，∴－≤x≤，得A＝.
∵A⊆(－2,2)，∴解得a>，∴a的取值范围是.
(2)由题意，|ax－1|＋|x＋1|>恒成立，设h(x)＝|ax－1|＋|x＋1|，
h(x)＝
①当0
，∴
②当a>1时，h(x)min＝h＝，>，∴1
