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备战2020高考数学（理科）全真模拟卷及解析（十六）
（本试卷满分150分，考试用时120分钟）
第I卷（选择题)
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，，则集合是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用补集和交集的定义可求出集合.
【详解】
集合，，，则，
因此，.
故选：D.
【点睛】
本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
2．已知复数满足（为虚数单位),则复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
运用复数的除法运算法则求出复数,在根据共轭复数的定义求出复数.
【详解】
由题意,可变形为.
则复数.
故选：B.
【点睛】
本题考查了复数的除法运算法则和共轭复数的定义,属于基础题.
3．等比数列的各项均为正数，已知向量，，且，则
A．12 B．10 C．5 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出．
【详解】
向量＝（，），＝（，），且•＝4，
∴+＝4，
由等比数列的性质可得：＝……＝＝＝2，
则log2（•）＝．
故选C．
【点睛】
本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
4．《九章算术衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱,乙持钱,丙持钱,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ）
A．甲付的税钱最多 B．乙、丙两人付的税钱超过甲
C．乙应出的税钱约为 D．丙付的税钱最少
【答案】B
【解析】
【分析】
通过阅读可以知道说法的正确性,通过计算可以知道说法的正确性.
【详解】
甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的不超过甲。可知错误:乙应出的税钱为.可知正确.
故选:B
【点睛】
本题考查了数学阅读能力,考查数学运算能力.属于基础题.
5．在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二倍角公式可知，求出角，再根据正弦定理表示，转化为，再根据三角函数化简，转化为函数值域问题.
【详解】
，
即，
，，
根据正弦定理可知，
，
,
当时，等号成立，
即.
故选：B
【点睛】
本题考查三角恒等变换，以及正弦定理边角互化和三角函数求值域的综合问题，意在考查转化与化归的思想，和计算能力，本题的关键是根据正弦定理转化为，再通过三角函数恒等变换转化为三角函数求值域.
6．函数在上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，排除C；再验证的值，排除B，D，即可.
【详解】
依题意，，故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C；，排除B，D.
故选：A
【点睛】
本题考查函数图象问题.此类问题可根据函数的单调性、奇偶性、特值检验，通过排除法解决.属于中档题.
7．某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）为
A．18 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
判断三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据求解几何体的体积即可.
【详解】
由题意可知几何体是底面为正三角形的三棱柱，底面边长为2，高为3， 所以几何体的体积为，故选C．
【点睛】
本题考查三视图求解几何体的体积，考查转化思想以及空间想象能力．
8．已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，圆的方程为：,，利用正弦型函数的性质得到最值.
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，则，，，
圆的方程为：,∴，
∴，，
∴
∴时，的最大值是8，
故选：D
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
9．已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．
【详解】
函数的定义域为R，
，
即，
∴ 是偶函数，
当时，,为增函数，为减函数，
∴ 在上单调递增，
故选：C
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题．
10．从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.
【详解】
由题意可分成两类：
（1）一名教师和三名学生，共；
（2）两名教师和两名学生，共；
故不同的选派方案的种数是.
故选：C
【点睛】
本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．
11．已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则过作倾斜角为的直线分别交抛物线于（在轴上方）两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义和焦点弦的性质，求得，进而可求得的值．
【详解】
由椭圆，可得右焦点为，所以，解得，
设，
由抛物线的定义可得，所以，
又由，可得，
所以.
故选C．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质，以及抛物线的焦点弦的性质的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
12．已知函数，若函数的零点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用导数得出函数在上单调递增，由零点存在定理得出，于是得出，于此得出可得出结果.
【详解】
因为，所以在上恒成立，
即函数在上单调递增.
又，，
所以在上必然存在零点，即，
因此，所以，故选：B.
【点睛】
本题考查函数零点存在定理的应用，考查函数求值，解题的关键就是利用导数判断函数单调性并利用零点存在定理判断出零点所在区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
第II卷（非选择题)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。
13．函数的最大值为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二倍角正、余弦公式以及辅助角公式将函数变形为，从而求解函数的最大值，即可.
【详解】
当即时，取得最大值，
即
故答案为：
【点睛】
本题考查正弦型三角函数的最值，解决本题的关键是利用三角恒等变换将函数变形整理为正弦型三角函数，属于中档题.
14．设，向量，，且，则________
【答案】
【解析】
【分析】
根据，得到，从而得到的值，再得到的坐标表示，求出其模长，得到答案.
【详解】
因为向量，，且，
所以，即，得
所以，
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查根据向量的垂直关系求参数的值，利用向量的坐标求向量的模长，属于简单题.
15．已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则___________.
【答案】12
【解析】
【分析】
由的二项展开式的通项，可知展开式的二项式系数为，当时，二项式系数的最大值为，展开式的系数为，当满足时，系数的最大值为，求解即可.
【详解】
由题意可知
展开式的二项式系数为，
当时，取得最大值
展开式的系数为，
当满足时，系数最大.
即
，即解得
又
时，系数的最大值为
则
故答案为：12
【点睛】
本题考查二项式定理，求二项式系数最大值时，列出不等式组是解决本题的关键.属于一道较难的题.
16．已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为___．
【答案】
【解析】
【分析】
对分类，找到的解集，再求的解集
【详解】
时，，
①当时，，
解，即得或，
或
②当时，
解即得
当时，解集为或
是上的偶函数，
由对称性可知当时，解集为或
解集为或或
时，或或
解得或或
【点睛】
本题考查绝对值函数，不等式求解，偶函数的性质，题目考查知识点较多，比较综合，属于难题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若的面积，求a+c值；
（2）若2cosC（+）=c2，求角C．
【答案】（1）5（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知利用三角形面积公式可求ac=6，结合余弦定理可求a+c的值．
（2）利用平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求cosC=，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
【详解】
解：（1）∵的面积，
∴=acsinB=ac，可得：ac=6，
∵由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得：7=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-18，
解得：a+c=5．
（2）∵2cosC（+）=c2，
∴2cosC（accosB+bccosA）=c2，可得：2cosC（acosB+bcosA）=c，
∴由正弦定理可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，即2cosCsinC=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosC=，
∵C∈（0，π），
∴C=．
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18．如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的中点.
（1）证明：；
（2）若，求二面角平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接、，证明平面，从而得出；
（2）证明出平面，可得出、、两两垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，然后计算出平面、的法向量，利用空间向量法求出二面角平面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：取中点，联结、，
为等边三角形，为的中点，.
是的中点，为中点，，，.
，平面，
平面，；
（2）由（1）知，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，则、、两两垂直，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、.
设平面的法向量为，，.
由，得，令，得，，
所以，平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，，
由，得，取，得，.
所以，平面的一个法向量为.
则.
结合图形可知，二面角的平面角为锐角，其余弦值为.
【点睛】
本题考查异面直线垂直的判定，同时也考查了二面角余弦值的计算，一般需要建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.
19．近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于的天气现象出现增多.陡然降温幅度大于容易引起幼儿伤风感冒疾病.为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的名幼儿进行调查,得到了如下的列联表,若在全部名幼儿中随机抽取人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为,
(1)请将下面的列联表补充完整;
患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计
男 25
女 20
合计 100
(2)能否在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关?说明你的理由;
(3)已知在患伤风感冒疾病的名女性幼儿中,有名又患黄痘病.现在从患伤风感冒疾病的名女性中,选出名进行其他方面的排查,记选出患黄痘病的女性人数为,求的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考:
参考公式：，其中
【答案】(1)见解析,(2) 不能在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美.(3)分布列见解析,
【解析】
【分析】
(1)根据在全部名幼儿中随机抽取人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为,可以求出患伤风感冒疾病的幼儿的数量，这样可以补充完成列联表；
(2)代入公式求出的值，根据所给的表写出结论；
(3) 根据题意,的值可能为.分别求出相应的概率值，列出分布列，计算出数学期望即可.
【详解】
(1)列联表补充如下;
患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计
男
女
合计
计算的观测值为,
所以不能在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美.
(3)根据题意,的值可能为.
则,,
故的分布列如下：
故的数学期望：.
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的一条直线交椭圆于两点，若的周长为，且长轴长与短轴长之比为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】
(1)根据椭圆的定义和已知的周长，可以得到等式，根据长轴长与短轴长之比为，再结合椭圆中的关系，可以求出的值，进而求出椭圆的标准方程；
(2)设出直线的方程，化简，将直线的方程与椭圆的标准方程联立，利用一元二次方程根与系数关系最后可以求出的方程.
【详解】
(1)由条件可知：，，
∵，解得：，所以椭圆的方程为
(2)设直线的方程为：；
因为，
所以，所以，所以，
，
，解得：
所以直线的方程为.
【点睛】
本题考查了椭圆的定义和标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了向量表达式的化简，考查了数学运算能力.
21．已知函数．
（1）求在点处的切线方程；
（2）求证：在上仅有个零点．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出和，然后利用点斜式写出所求切线的方程；
（2）利用当时，来说明函数在上没有零点，并利用函数的单调性和零点存在定理证明出函数在区间上有且只有一个零点，并结合，可证明出函数在区间上有两个零点.
【详解】
（1），则，，.
因此，函数在点处的切线方程为，即；
（2）当时，，此时，，所以，函数在区间上没有零点；
又，下面只需证明函数在区间上有且只有一个零点.
，构造函数，则，
当时，，
所以，函数在区间上单调递增，
，，由零点存在定理知，存在，使得，且当时，，当时，.
所以，函数在处取得极小值，则，
又，所以，由零点存在定理可知，函数在区间上有且只有一个零点.
综上所述，函数在区间上有且仅有两个零点.
【点睛】
本题考查利用导数求切线方程，以及利用导数研究函数零点个数问题，一般对于函数的零点个数问题，常利用单调性与零点存在定理来解决，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，曲线的参数方程是是参数）．
（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）求的取值范围，使得，没有公共点．
【答案】（1）曲线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是；
（2）。
【解析】（1）曲线的直角坐标方程是，
曲线的普通方程是…………5分
（2）当且仅当时，，没有公共点，
解得……10分
23．选修4－5：不等式选讲
设．
（1）当m=5时，解不等式；
（2）若对任意恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
不等式为，
①当时，不等式为：，即，满足；
②当时，不等式为：，即，不满足；
③当时，不等式为：，即，满足．
综上所述，不等式的解集为．
设，若对于任意恒成立，
即对于任意恒成立，
由图可看出的最小值是，
所以，，即m的取值范围是．
考点：绝对值不等式的解法，恒成立问题的转化．
