:初中数学竞赛辅导专题（三） 初中数学竞赛中最值问题求法应用举例

初中数学竞赛辅导专题（三）

初中数学竞赛中最值问题求法应用举例

最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考都是必考内容。现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下：

（一）根据非负数的性质求最值。

1、若M =（X±a）2 +b ，则当X±a = 0时M有最小值b 。

2、若M = －（X±a）2 + b ，则当X±a = 0 时M有最大值b 。

3、用（a±b）2≥0 ，∣a∣≥0，≥0的方法解题。

【说明：这里用到的很重要的思想方法是配方法和整体代换思想。】

例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a2 +

b2 + c2 = 9，则代数式 （a － b）2  + （b —c）2  +（c － a）2的最大值是 （

）

A．27   B、 18   C、15   D、 12

解：(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2= 2(a2+b2+c2)－2ab－2bc－2ca = 3(a2+b2+c2)－a2－b2－c2－2ab－2bc－2ca = 3(a2+b2+c2)－(a2+b2+c2＋2ab＋2bc＋2ca) =3(a2+b2+c2)－(a+b+c)2 = 27－(a+b+c)2

≤ 27 。

∵a2+b2+c2 = 9 ，     ∴ a，b，c 不全为0 。当且仅当a + b + c = 0 时原式的最大值为 27 。

【说明，本例的关键是划线部份的变换，采用加减(a2＋b2＋c2)后用完全平方式。】

例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N + 1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是 （   ）

A、 1  B、 2  C、 3   D、 4

解：设 ∵ 3N+1是完全平方数，∴ 设 3N+1 = X2 （N≥ 8），则3不能整除X，所以X可以表示成3P±1的形式。3N＋1=（3P±1）2= 9P2±6P+1=3X2±2X+1=X2+X2+（X±1）2。即3N+1能够表示成三个完全平方数的和。所以K的最小值为 3 。选 C 。

【说明，本例的关键是如何把3X2拆成X2＋X2＋X2，然后配方求解。】

例题（3）、设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。

解：a2＋ab＋b2－a－2b = a2＋(b－1)a＋b2－2b = a2＋(b－1)a＋()2＋b2－b－ =(a＋)2＋(b－1)2－1 ≥ －1 。只有当a＋= 0且b－1= 0 时，即a=0，b=1时取等号。所以原式的最小值是－1。

【注意：做这一类题的关键是先按一个字母降幂排列，然后配方。】

例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ，则a2－ab＋b2的最小值和最大值的和是————————

。

解：设a2－ab＋b2 = K，与a2＋ab＋b2

=1联立方程组，解得：a2＋b2 = (1＋K)，ab = (1－K)。

∵(a＋b)2≥0， ∴a2＋b2＋2ab=(1＋K)＋2×(1－K)≥0，  ∴K≤3 。  ∵(a－b)2≥0，  ∴a2＋b2－2ab = (1＋K)－2×(1－K)≥0， ∴K≥ 。 得  ≤K≤3 。

所以 a2－ab＋b2的最小值是 ，最大值是3 ，这两个值的和是3 。

【本题的关键在于直接运用（a±b）2≥0 】

例题5、若a、b满足3＋5∣b∣= 7 ，则S = 2－3∣b∣的最大值为------------------- ，最小值为-------------------- 。

解：联立3 ＋5b = 7和S

= 2－3b两式，解得19= 21＋5S，19b=14－3S 。∵ 19≥0，∴21＋5S≥0，S≥－ 。 ∵19∣b∣≥0，∴14－3S≥0 ， ∴S ≤ ， 得 －≤S≤ 。所以S的最大值为 ，最小值为－ 。

【说明：这里直接运用了∣a∣≥0和≥0 】

（二）、直接运用a2＋b2

≥ 2ab ( a＋b≥ 2 )性质求最值。

例题（6）、若X > 0，则函数Y =

＋＋的最小值。

解：原式 = ＋＋ = ＋＋＋ ≥2＋2 = 2＋2 = 4 。所以原式的最小值是 4 。

【说明：这个公式的来源是由(a－b)2≥0直接推出的。】

例题（7）、已知 a、b、c、d均为实数，且a＋b＋c＋d = 4 ，a2＋b2＋c2＋d2 = ，求a的最小值与最大值。

解：∵a＋b＋c＋d = 4 ，

∴b＋c＋d = 4- a ，

∴ (b＋c＋d)2 = b2＋c2＋d2＋2bc＋2cd＋2bd ≤b2＋c2＋d2＋(b2＋c2)＋(c2+d2)+(d2+b2)=3(b2+c2+d2)

∵b＋c＋d = 4－a， ∴(b＋c＋d)2 = (4－a)2 。

∵ a2＋b2＋c2＋d2 = ，

∴b2＋c2＋d2 = －a2 。

∴ （4－a）2≤ 3×(－a2) ，化简得 a(a－2)≤ 0

，解得0≤ a ≤2 。

∴ a的最小值是0 ，a的最大值是2 。

【说明，本例的关键是划线部份的变换逆用了a2＋b2≥2ab，从而达到了把(b＋c＋d)以及b2＋c2＋d2都用a替换的目的。】

（三）、用一元二次方程根的判别式Δ=b2－4ac（结合韦达定理）求最值。

例题（8）、已知实数a、b、c满足a＋b＋c = 2 ，abc = 4 ，1求a、b、c中最大者的最小值 ；2求∣a∣＋∣b∣＋∣c∣的最小值。

解：1，设a为最大者，则由题意得 b＋c=2－a，bc= ，由韦达定理得b、c是关于X的二次方程X2－(2－a)X＋=0的两个实数根。∴Δ=（2－a）2－4×1×≥0 ，展开后整理并分解因式得(a2＋4)(a－4)≥4 ，∴ a≥4。所以最大数a的最小值是4 。

【即当b=c=-1时a取最小值。划线部份转化为二次方程根与系数关系是关键。另外设a、b、c哪个最大是等价的。】

2、由1知最大数a的最小值为4，所以a、b、c不可能全为正，那么只可能是两负一正，若a为正，则b、c均为负，∴∣a∣＋∣b∣＋∣c∣= a－b－c = 2a－2≥0 ， ∵a≥4，  ∴∣a∣＋∣b∣＋∣c∣≥6 。 ∴∣a∣+

∣b∣＋∣c∣的最小值是6 。

例题（9）、求函数Y = 的最小值。

解：原式可化为（X2＋X＋1）Y =3X2＋6X＋5 ，整理得（6－Y）X2＋（12－2Y）X＋（10－2Y）=0，因为X的取值范围是全体实数，所以关于X的二次方程有实数根，∴Δ = （12－2Y）2－4×（6－Y）（10－2Y）= －4Y2＋40Y－96≥ 0 。即Y2－10Y＋24≤ 0 ，由（Y－4）（Y－6）≤0 得 4 ≤ Y ≤ 6 。所以Y的最小值为 4 。

【说明：本题也可以用以下的方法来做。Y=== 6－，当（X2+1）＋1最小时， 最大，从而得Y最小值是4

。】

例题（10）、如图（1-1），在ΔABC中，D、E分别是BC、AB上的点，且∠1=∠2=∠3 ，如果ΔABC、ΔEBD、ΔADC的周长依次为m，m1，m2，求证：的最小值是 。

证明：由∠1=∠2，∠C是公共角，得ΔABC∽ΔDAC，

∴== ， DC=，∵∠2=∠3得DE∥AC，∴ΔBDE∽ΔBCA，∴==，而=== 1－（）2  。令K=

则 K =＋1－()2，即()2－＋K－1= 0， ∵ a、b 为实数，  ∴⊿ =

（－1）2－4（K－1）≥ 0 ，得K≤ 4 。∴ 的最小值为4 。

例题（11）已知矩形A的边长分别为a、b，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比和面积之比都等于K。试问K是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由。

解：K存在最小值。设矩形B的边长分别为m、n ，根据题意得： =K，=K，∴m＋n =K(a＋b)，mn = Kab ；则m、n 是关于X的方程X2－K(a＋b)X＋Kab = 0的两个根。必须满足⊿=K2（m+n）－4Kmn≥ 0 ，∵K≠0，∴K≥。∴K的最小值是 。

【说明：二次方程根的判别式往往和韦达定理结合在一起应用】

（四）、用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。

例题（12）已知0≤a≤4，那么┃a-2┃＋┃3－a┃的最大值等于（  ）

A． 1  B。 5   C。  8   D。  3

解：根据已知条件采用取零点分段讨论法求最大值。根据绝对值的几何意义，a=2 ，a=3是两个零点，结合0≤a≤4分成0≤a≤2，2例题（13）、是一个五位自然数，其中a，b，c，d，e为阿拉伯数字，且a解：由已知条件ae时，原式=2d－a－e，当d=9，a=1，e=0时，原式的最大值为17 。所以原式的最大值为17 。

例题（14）、1，求代数式│X－1│＋│X－2│＋│X－3│＋…＋│X－2003│的最小值。2，求代数式│X－1│＋│X－2│＋│X-3│＋…＋│X-2004│的最小值。

解：1，本题用分段讨论法肯定是不恰当的，也太麻烦了。应该用绝对值的几何意义来解比较妥当。因为│X－1│的意义是：在数轴上表示实数X的点到表示1的点的距离。所以只有当X在表示点1、2、3、…、2003的正中位置时，即当X=1002时，│X－1│＋│X－2│＋│X－3│＋…＋│X－2003│的值最小，即原式最小值为1001＋1000＋999＋…＋2＋1＋0＋1＋2＋…＋999＋1000＋1001 = 2（1＋2＋3＋…＋1001）= 。2，因为1、2、3、…、2003、2004的正中位置在数1002和1003之间，所以当X在1002≤X≤1003范围内取任意一点值时，原式都能取到最小值。当X=1002或X=1003时原式的值最小。现用X=1002计算，原式的最小值为1001＋1000＋999＋…＋2＋1＋0＋1＋2＋…＋1000＋1001＋1002 = 2（1＋2＋…＋1001）＋1002 = 。

【说明：对于求│X－a1│＋│X－a2│＋│X－a3│＋│X－an│型代数式的最小值，有如下结论可以应用：当an是奇数时，在X=时，代数式的值最小；当an是偶数时，在≤X≤时代数式的值最小。】

（五）、用二次函数图象性质求最值。

例题（15）、若│y│≤1，且2x＋y = 1。则2x2＋16x＋3y2的最小值是——————。

解：∵∣y∣≤1，∴－1≤y≤1，由2x＋y=1得y=1－2x，即－1≤1－2x≤1，∴0≤x≤1。

又∵y=1－2x，∴y2=4x2－4x＋1，∴2x2＋16x＋3y2 = 14x2＋4x＋3 = 14(x＋)2＋。 ∵0≤x≤1，而二次函数的图像对称轴是直线x=－，在对称轴的右侧，y随x增大而增大，∴当x=0时，原代数式的最小值是3 。（当x=1时有最大值21。

例题（16）、设m是不小于－1的实数，使得关于X的方程X2＋2(m－2)X＋m2－3m＋3 =

0 有两个不相等的实数根X1，X2

。求＋的最大值。

解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴⊿

> 0，解得m < 1>

由韦达定理得：X1＋X2 = 2（2 – m）， X1·X2 = m2－3m＋3 ，

y = ＋= =2(m2－3m＋1)=2(m － )2－ 。y是关于m的二次函数，对称轴为直线m =，在对称轴左侧，y随m的增大而减小，因为－1≤m< 1 xss=removed>

【说明：二次函数最值的确定，要根据自变量的取值范围来确定，当自变量的变化范围是一个闭区间时，它一定有最大和最小值，若是半闭半开区间时，它只能有一个最大或最小值，这个最值不一定在顶点取得；若是开区间则由顶点位置确定最值。】

（六）、用轴对称变换法求最值。（见本人另文，这里不再举例）。

（七）、用方程组消元（也称主元代换法），再用不等式组确定字母取值范围，在字母约束条件下求最值。

例题（17）、已知三个非负数a、b、c满足3a＋2b＋c = 5，2a＋b－3c = 1，若Q = 3a＋b－7c ，求Q的最大和最小值。

解：由已知条件3a＋2b＋c=5 ，2a＋b－3c=1得a = 7c－3，b = －11c＋7，∴Q = 3c－2，从而 c = 。 ∵a、b都是非负数，∴7c－3 ≥0，－11c＋7≥ 0， ≤c ≤  ， ∴－≤Q ≤－ 。 ∴Q的最大值是－1/11，Q的最小值是－5/7。

【本例先用c代换a、b ，根据非负数性质确定c的允许值范围，在c 的约束下求Q的值域，确定Q的最大、最小值。】

（八）、用不等式性质和整体代换思想求最值。

例题（18）、已知X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7 为自然数，且X1 < X2>

例题（19）、如图（2-1），P为正三角形外一点，且不与A、B在同一直线上，AP=2，BP=3，当此三角形的边长、位置都可改变时，PC的长能否取到最大值？若能取到，求出这个最大值；若不能取到，请说明理由。

解：把△APB绕点A顺时针旋转600，使AB与AC重合，得△ACP1，连结PP1，则△APP1是正三角形，PP1=AP=AP1=2，P1C=PB=3，当P、P1、C不在一直线上时，  PC

这个最大值是PP1＋P1C=5。

（十）、用整数的性质求最值。

例题（20）、若对于n≥2存在整数a1，a2，…，an使得 a1＋a2＋…＋an = a1a2…an

= 1990，则n 的最小值是 ———————— 。

解：由于1990是偶数，且只能被2整除，所以由a1a2…an=1990知a1，a2，…，an中只有一个偶数；又由a1＋a2＋…＋an =1990是偶数知，在a1，a2，…，an

中有偶数个奇数。因为n≥2，所以n必是大于等于3的奇数。

当n=3时，设a1≥a2≥a3 ，由a1＋a2＋a3 =1990，知a1≥，结合a1a2a3

=1990得a1=1990，或者a1=995，从而找不到a2，a3满足条件；当n = 5 时，可取a1=1990，a2=a3=1，a4=a5=－1，满足条件。所以n的最小值是5 。

（十一）、用数学建模求应用题的最值。

例题（21）、某蔬菜基地种植西红柿，由历年的市场行情知，从二月一日起的250天内，西红柿的市场售价P与上市时间t的关系用图（3-1）中的一条线段表示；西红柿的种植成本Q与上市时间t的关系可用图(3-2)中的抛物线来表示。（市场售价P和种植成本Q的单位：元/102kg，时间单位：天

）。若认定“市场售价－种植成本 = 纯收益”，问何时上市的西红柿纯收益最大？

解：如图（3-1）得函数关系式为：P = 300－t (0≤t≤

250)。

如图（3-2）得函数关系式为：Q = （t－150）2＋100 (0≤t≤250)。

纯收益S = P－Q = －（t－50）2＋100 。即从二月一日开始的第50天上市西红柿的纯收益最大。

【说明：此类生活中的数学问题，具有强烈的时代气息，来源于生活生产实际，是近年来各级各类竞赛考试的热门试题，综合性强，知识的涉及点多，知识的应用要求高，在辅导中要引起重视。】

(十二)、练习题：

1、已知：a < 0> 0 ，且 = b2－2ac ，求b2－4ac的最小值。

【把已知条件两边平方后得ac = b－1，代入b2－4ac就能求得最小值4。】

2、已知在直角坐标系中有三点A（0，1）、B（1，3）、C（2，6），直线Y=aX＋b上横坐标为0、1、2的三点为D、E、F，试求a、b的值，使DA2＋EB2＋FC2取得最小值。

【把D、E、F三点的纵坐标用含a、b的代数式表示，然后把DA2＋EB2＋FC2用含a、b的二次式表示，配方后求出最小值。当a=5/2，b=5/6，最小什为1/6。】

3、设X1，X2是关于X的方程X2＋aX＋a = 2的两个实数根，则（X1－2X2）（X2－2X1）的最大值为—————— 。

4、求函数Y=X4＋X2＋1的最小值。

【Y=（X2＋1）2＋，当X=0时Y最小值是1。】

5、四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16，1这样的四边形有几个？2这样的四边形边长的平方和的最小值是多少？

【先由AB=a、CD=b、AC=m都是正整数 ，且四边形ABCD面积=三角形ABC面积＋三角形ACD面积=1/2aha＋1/2bhb≤1/2(a＋b)m ，当且仅当ha=hb=m时等号成立，这时AB‖CD，即四边形ABCD为平行四边形或梯形，且AC是高。又从（a＋b）m≥32，a＋b＋m=16 得满足条件的四种情况。】

6、设实数a，b满足    a2－bc－8a＋7=0

b2＋c2＋bc－6a＋6=0，则a的最大值与最小值的和是 ________________ 。

【先由原方程组求出b2＋c2，bc用a表示的代数式，再由(b－c)2≥0解不等式a2－10a＋9≤0求得1≤a≤9，所以a的最大值为9，最小值为1。】

7、如果a，b，c是实数，且满足关系式b2＋c2=2a2＋16a＋14与bc=a2－4a－5，那么a的最大值与最小值的和是________

。

【用(b-c)2≥0】

8、若M=（X＋1）（X+2）（X+3）（X+4）+50，则M的最小值是________

。

9、若M=4X2-12XY+10Y2+4Y+9，则当X=_____Y=_____时M的值最小，M的最小值为_______。

10、正实数X、Y、Z满足XY+YZ=10，则X2＋5Y2＋4Z2的最小值是_______。

【由XY+YZ=10得4XY+4YZ=40，则X2＋5Y2＋4Z2=（X-2Y）2＋（Y-2Z）2＋40，当X=2Y且Y=2Z时原代数式有最小值40。】

11、实数P、Q、R满足P+Q+R=5，PQ+QR+RP=3，则R的最大值是______。

【令P=（5-R）/2＋d，Q=（5-R）/2－d，代入PQ+QR+RP=3得3R2－10R－13=-4d2，解不等式3R2-10R-13≤0得R的最大值是13/3。也可用⊿法解。】

12、若X为正实数，求Y=X2－X＋的最小值 。

【Y=（X-1）2+（-）2＋1，当X=1时Y有最小值1。】

13、已知xy=1，那么代数式＋的最小值是_________。

14、若x>0，则函数y=＋＋ 的最小值是________ 。

15、若x≠0，则y=的最大值是________ 。

【y= =≤＋】

16、已知函数y=x2＋(a-1)x+2a2-2a-100，且存在实数x，使得y≤0，则满足条件的最大整数a的值是________ 。【⊿≥0】

17、若x为实数，求函数y=的最小值。

【用根的判别式，。】

18、求函数y=的最大值 。【13/3】

19、已知实数a，b，c满足a＋b＋c=0，abc=8，且c>0，则c的最小值是________。

【用韦达定理和根的判别式，2】

20、已知x，y，z是实数，并且满足x+y+z=0，xyz=2，则z的最小值是_______ ，∣x∣＋∣y∣＋∣z∣最小值是_________ 。【用⊿法，结果为2、4】

21、在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=900，BC，AD的延长线交于P，求AB·SΔABP的最小值 。

【设PD=x，得AB·SΔABP==y，用⊿法求得最小值是2-。】

22、已知－1≥x－，求∣x-1∣-∣x＋3∣最大值和最小值。【4，-36/11。】

23、设x为实数，y=∣x＋2∣＋∣x-4∣，求y取最小值时的所有实数x 。【-2≤x≤4 。】

24、已知y=∣x-1∣-∣2x∣＋∣x＋2∣，且-2≤x≤1，则y的最大值与最小值的和是（   ）

A．0  B。 2  C。 4   D。 5

【选B】

25、∣m-2∣＋∣m-4∣＋∣m-6∣＋∣m-8∣最小值是（

）

A。  4  B。  6  C。 8  D。  12

【选B】

26、设a为实数，若二次函数y=x2-4ax＋5a2－3a的最小值为m，当a满足0≤a2-4a-2≤10时，求m的最大值 。

【由0≤a2-4a-2≤10得2+≤a≤6或-2≤a≤2-，求得m的最大值为18。】

27、设P是实数，二次函数y=x2－2Px-P的图像与X轴有两个不同交点A（x1，0）、（x2，0），若A、B两点之间的距离不超过∣2P-3∣，求P的最大值 。【9/16】

28、印刷一张矩形广告，它的印刷部份的面积是32dm2，上、下各空白1dm，两边各空白0·5dm，设印刷部份从上到下的长度是xdm，四周空白处的面积为Sdm2，要使四周空白处的面积最小，这张矩形广告纸的长和宽各是多少？【用⊿法或x＋1/x≥2，长是9dm，宽是6dm。】

29、在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为（4，-），且在X轴上截得的线段AB长为6，请在Y轴上求一点P，（不写作法）使PA+PB的值最小，并求P点坐标。【轴对称法，2】

30、平面直角坐标系中，有点P（-1，-2）和Q（4，2），取点R（1，m），求当m为何值时，PR+QR有最小值。

【因为点P、Q在直线x=1 的两侧，所以只要求出过点P、Q的直线方程，然后求直线PQ直线x=1的交点坐标 。m=-2/5】

31、若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a。那么a+b+c+d的最大值为（   ）

A。 –1   B。 –5   C。  0   D。  1   【选B】

32、已知x2+xy+y2=2，求x2-xy+y2 的最大值和最小值。【6，1/3】

33、已知a，b是正数，抛物线y=x2＋ax＋2b与y=x2＋2bx＋a都与x轴有公共点，则a2＋b2 的最小值是_________ 。

【当a=4，b=2时，最小值为20。】

34、已知x，y，z是三个非负有理数，且满足3x+2y+z=5，x+y+z=2，设 S=2x+y-z，求S的最大和最小值。

【 把y、z用x表示，然后确定x的取值范围，就可通过解不等式组求S的最值。】

35、在ΔABC中，∠A≤∠C≤∠B，且2∠B=5∠A。求∠B的最大和最小值。

【750，1000】

36、圆周上依次相连排列着十个圆，要将1，2，3，…，10这十个数分别填入十个圆圈内，使任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某个整数M，求M的最小值并完成你的填图。

【根据题意建立不等式组，确定M≤27·5，M的最小值为28，填法有多种：如10，7，6，3，2，9，8，5，4，1就是一种。】

37、如图，ΔABC的边AB=2，AC=3，ⅠⅡⅢ分别表示以AB、BC、AC为边的正方形，则图中阴影部分面积和的最大值是_______ 。

【把三角形ECD绕点C顺时针旋转900，得三角形ECF，点C为FA的中点，ΔBCF的面积=ΔABC的面积，即ΔECF的面积=ΔABC的面积，所以阴影部分面积和=3ΔABC的面积。而ΔABC的面积≤1/2AC·AB，只有当∠BAC=900时等号成立。面积和的最大值为9。】

38、ΔABC中，BC=a，AC=b，以AB为边向ΔABC外作等边ΔABD，问当∠ACB为多少度时，C、D两点的距离最大？最大值是多少？若以AB为边向外作正方形ABDE，问当∠ACB为多少度时，点C到正方形ABDE的中心O的距离最大？最大值是多少？

【如图6-1，把△DBC绕点D逆时针旋转600，点B与A重合，得△DAE≌ΔDBC，且ΔDEC是等边三角形，当C、A、E三点共线时，CD的值最大。此时∠ACB=1200，CD的最大值是a＋b。在图6-2中，同理可得当∠ACB=900时，CO的最大距离为（a＋b）。】

39、将形状为等腰三角形的铁片改制成有一个内角为450的平行四边形，问怎样做才能使材料的利用率最高？（接缝处材料损失不计）

【取AC、BC中点D、E，连结DE，把ΔCDE绕点E逆时针旋转1800，得ΔEBF，则ΔEBF≌ΔECD，这时四边形ADFB是平行四边形。它的面积就等于ΔABC的面积，材料利用率最高。】

40、代数式rvz-rwy-suz+swx+tuy-tvx中，r、s、t、u、v、w、x、y、z可以取1或者-1。（1）证明代数式的值为偶数；（2）求这个代数式所能取到的最大值。

【 1中六项的值均为1或-1，且个数同奇同偶，所以和必为偶数；2六式相乘积为-（rstuvwxyz）2=-1，所以这六项中至少有一项为-1，这六项的和最多是5-1=4，取u、x、y为-1，其它字母为1，原式的最大值为4。】

41、设a、b、c是互不相同的自然数，ab2c3=1350，则a＋b＋c的最大值是_______。【 1350=2×33×52=（2×33）×52×13=（2×52）×12×33=（2×3×52）×32×13，所以有四解。】

42、求能使n3＋100被n＋10整除的最大整数n的值。

【== n2-10n＋100－，n的最大值为890。】

43、一个正整数除以5、7、9、11的余数依次为1、2、3、4，求满足上述条件的最小正整数。

【设这个数为P，则P-1能是5的倍数，P-2是7的倍数，P-3是9的倍数，P-4是11的倍数，且5、7、9、11、互质，5、7、9、11的最小公倍数是1731，】

44、已知x，y，z为自然数，且x

【先用x替换y、z，得x+y+z=x+3999，当x最大时，x+y+z的值也最大，由1999-x≥1(y是自然数)，1999-x>x(已知y>x)，2000+x≥1(z是自然数)，所以1≤x<999 x=999，>

45、设正整数a、b、c、d满足条件a/b=b/c=c/d=5/8，则a+b+c+d的最小值是________。

【因为a=5/8·b，所以8∣b；同理d=8/5·c=64/25·b，25∣b；所以200∣b，当b=200时，a＋b＋c＋d=1157是最小值。】

46、已知x+y+z=1，且0≤x≤1，0≤y≤1，2y+z≥，求M=2x+5y+4z的最大值和最小值。

【由x+y+z=1，z=1-x-y，M=-2x+y+4，y=2x+M-4；又由0≤x≤1，0≤y≤1，y≥x+，得x、y只能在如图（7）所示的阴影区域内变化，而M－4为直线在y轴上截距，随着M的变动，形成了一系列平行直线，M-4在0到1之间变化，所以4≤M≤5，M的最小值是4，最大值是5。】

西塘中学  杨孝华

2004、12、3