:全国初中数学联赛预赛暨 山东省初中数学竞赛试题

全国初中数学联赛预赛暨

山东省初中数学竞赛试题

一、选择题(本题共8小题，每小题6分，满分48分)

1。磁悬浮列车是一种科技含量很高的新型交通工具。它有速度快、爬坡能力强、能耗低的优点。它每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位的平均能耗的三分之一、汽车每个座位的平均能耗的70%。那么汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的(  )

(Ａ)  (Ｂ)  (Ｃ)  (Ｄ)

2。已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ都是正实数，且<。给出下列四个不等式： ①> ②< ③> ④< 其中正确的是(  )

(Ａ)①③  (Ｂ)①④ (Ｃ)②④  (Ｄ)②③

3。如图，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，∠Ｃ=90°，∠ＣＢＤ=30°，则的值是(  )

(Ａ)  (Ｂ) (Ｃ)－1  (Ｄ)－1

4。世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分。小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛。如果总积分相同，还要按净胜球数排序。一个队要保证出线，这个队至少要积(  )

(Ａ)5分 (Ｂ)6分 (Ｃ)7分 (Ｄ)8分

5。如图，四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ=60°，∠Ｂ=∠Ｄ=90°，ＡＤ=8，ＡＢ=7，则ＢＣ+ＣＤ等于(  )

6。如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ=3，ＢＣ=9，ＡＢ=6，ＣＤ=4。若ＥＦ∥ＢＣ，且梯形ＡＥＦＤ与梯形ＥＢＣＦ的周长相等，则ＥＦ的长为(  )

(Ａ) (Ｂ) (Ｃ)  (Ｄ)

7。如图，在ＲｔＡＢＣ中，∠ＡＣＢ=90°，ＡＣ=ｂ，ＡＢ=ｃ，若Ｄ、Ｅ分别是ＡＢ和ＡＢ延长线上的两点，ＢＤ=ＢＣ，ＣＥ⊥ＣＤ，则以ＡＤ和ＡＥ的长为根的一元二次方程是(  )

(Ａ)ｘ2－2ｃｘ+ｂ2=0 (Ｂ)ｘ2－ｃｘ+ｂ2=0

(Ｃ)ｘ2－2ｃｘ+ｂ=0 (Ｄ)ｘ2－ｃｘ+ｂ=0

8。已知实数ａ、ｂ、ｃ满足ａ<ｂ<ｃ，ａｂ+ｂｃ+ｃａ=0，ａｂｃ=1，则(  )

(Ａ)｜ａ+ｂ｜>｜ｃ｜ (Ｂ)｜ａ+ｂ｜<｜ｃ｜

(Ｃ)｜ａ+ｂ｜=｜ｃ｜ (Ｄ)｜ａ+ｂ｜与｜ｃ｜的大小关系不能确定

二、填空题(本题共4小题，每小题8分，满分32分)

9。Ｍ是个位数字不为零的两位数，将Ｍ的个位数字与十位数字互换后得另一个两位数Ｎ，若Ｍ－Ｎ恰是某正整数的立方，则这样的Ｍ共有＿＿＿＿个。

10。设ｘ1、ｘ2是方程ｘ2-2 (ｋ+1)ｘ+ｋ2+2=0的两个实数根，且(ｘ1+1) (ｘ2+1)=8， 则ｋ的值是＿＿＿＿。

11。已知实数ｘ、ｙ、ｚ满足ｘ+ｙ=5及ｚ2=ｘｙ+ｙ－9， 则ｘ+2ｙ+3ｚ=＿＿＿＿。

12。如图，Ｐ是矩形ＡＢＣＤ内一点，若ＰＡ=3， ＰＢ=4， ＰＣ=5， 则ＰＤ=＿＿＿＿。

三、解答题(本题共3小题，每小题20分，满分60分)

13。如图， 甲楼楼高16米， 乙楼坐落在甲楼的正北面， 已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°， 此时， 求：

(1)如果两楼相距20米， 那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?

(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上， 那么两楼的距离应当是多少米?

14。如图， △ＡＢＣ是等腰直角三角形，∠Ｃ=90°，Ｏ是 △ＡＢＣ内一点， 点Ｏ到△ ＡＢＣ各边的距离都等于1， 将△ＡＢＣ绕点Ｏ顺时针旋转45°得 △Ａ1Ｂ1Ｃ1， 两三角形公共部分为多边形ＫＬＭＮＰＱ。

(1)证明： △ＡＫＬ、 △ＢＭＮ、

△ＣＰＱ都是等腰直角三角形；

(2)求

△ＡＢＣ与△Ａ1Ｂ1Ｃ1公共部分的面积。

15。某乡镇小学到县城参观， 规定汽车从县城出发于上午7时到达学校， 接参观的师生立即出发去县城。 由于汽车在赴校的途中发生了故障， 不得不停车修理。 学校师生等到7时10分， 仍未见汽车来接，就步行走向县城。 在行进途中遇到了已经修理好的汽车， 立即上车赶赴县城， 结果比原定到达县城的时间晚了半小时。 如果汽车的速度是步行速度的6倍， 问汽车在途中排除故障花了多少时间。