:湖北省黄冈市初中数学竞赛试题

湖北省黄冈市初中数学竞赛试题

一、填空题(满分30分，每小题5分)

1。已知ｍ、ｎ互为相反数，ａ、ｂ互为负倒数，ｘ的绝对值等于3。则ｘ3-(1+ｍ+ｎ+ａｂ)ｘ2+(ｍ+ｎ)·ｘ2001+(-ａｂ)2002的值等于______。

2。已知正数ａ、ｂ，有下列命题：

(1)若ａ=1，ｂ=1，则≤1；

(2)若ａ= ，ｂ= ，则≤；

(3)若ａ=2，ｂ=3，则≤；

(4)若ａ=1，ｂ=5，则≤3。

根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若ａ=6，ｂ=7，则ａｂ≤________。

3。已知ｋ=== ，且+ｎ2+9=6ｎ，则关于自变量ｘ的一次函数ｙ=ｋｘ+ｍ+ｎ的图像一定经过第________象限。

4。如图1，∠ＡＯＢ=45°，角内有一点Ｐ，ＰＯ=10，在角的两边上有两点Ｑ、Ｒ(均不同于点Ｏ)。则△ＰＱＲ的周长的最小值为_________。

5。某公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金，金额与他  r工作的年数的算术平方根成正比例。如果他多工作ａ年，他的退休金比原有的多ｐ元；如果他多工作ｂ年(ｂ≠ａ)，他的退休金比原有的多ｑ元。那么，他每年的退休金是(以ａ、ｂ、ｐ、ｑ表示)_________元。

6。已知在△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ是锐角，且ｓｉｎＡ= ，ｔgＢ=2，ＡＢ=29ｃｍ。则△ＡＢＣ的面积等于___________ｃｍ2。

二、解答题(满分70分)

7。(10分)观察：1×2×3×4+1=52，

2×3×4×5+1=112，

3×4×5×6+1=192，

……

(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；

(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示)。

8。(10分)如图2，已知Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ=90°，沿过点Ｂ的一条直线ＢＥ折叠这个三角形，使点Ｃ落在ＡＢ边上的点为Ｄ。要使点Ｄ恰为ＡＢ的中点，问在图中还需添加什么条件?

(1)写出两个满足边的条件；

(2)写出两个满足角的条件；

(3)写出一个满足除边、角以外的其他条件。

9。(10分)在一次数学竞赛中，组委会决定用ＮＳ公司赞助的款购买一批奖品。若以1台ＮＳ计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台ＮＳ计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品。问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少?

10。(15分)如图3，ＯＢ是以(0，ａ)为圆心、ａ为半径的⊙Ｏ1的弦，过点Ｂ作⊙Ｏ1的切线，Ｐ为劣弧上的任一点，且过Ｐ作ＯＢ、ＡＢ、ＯＡ的垂线，垂足分别是Ｄ、Ｅ、Ｆ。

(1)求证：ＰＤ2=ＰＥ·ＰＦ；

(2)当∠ＢＯＣ=30°，点Ｐ为的中点时，求Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｐ四个点的坐标及Ｓ△ＤＥＦ。

11。(10分)若ａ、ｂ、ｃ、ｄ>0，证明：在方程

ｘ2++=0；①

ｘ2++=0；②

ｘ2++=0；③

ｘ2++=0④

中，至少有两个方程有两个不相等的实数根。

12。(15分)有麦田5块Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ，它们的产量(单位：吨)、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图4所示，要建一座永久性打麦场，这5块麦田生产的麦子都在此打场。问建在哪块麦田上(不允许建在除麦田以外的其他地方)才能使总运输量最小?图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母ａ、ｂ、ｄ表示距离，且ｂ<ａ<ｄ。