:八年级上册数学分式方程的增根与无解知识点讲解及典例解析

:分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．
分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：
例1 解方程． ①
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②
解这个方程，得x=2．
经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．
所以原方程无解．
【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解．
例2 解方程．
解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）．
整理得0x＝8．
因为此方程无解，所以原分式方程无解．
【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．