:专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十八题型研究_“函数与导数”大题常考的3类题型含解析

来源：快读网编辑：秩名时间：2020-04-14

:课时跟踪检测（十八）题型研究——“函数与导数”大题常考的3类题型
1．设函数f(x)＝(1－x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x＝－1±，
当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)<0> 当x∈(－1－，－1＋)时，f′(x)>0；
当x∈(－1＋，＋∞)时，f′(x)<0> 所以f(x)在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)上单调递减，在(－1－，－1＋)上单调递增．
(2)令g(x)＝f(x)－ax－1＝(1－x2)ex－(ax＋1)，
令x＝0，可得g(0)＝0.g′(x)＝(1－x2－2x)ex－a，
令h(x)＝(1－x2－2x)ex－a，则h′(x)＝－(x2＋4x＋1)ex，
当x≥0时，h′(x)<0> 故h(x)≤h(0)＝1－a，即g′(x)≤1－a，
要使f(x)－ax－1≤0在x≥0时恒成立，需要1－a≤0，
即a≥1，此时g(x)≤g(0)＝0，故a≥1.
综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．
2．(2019·重庆调研)设函数f(x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R)．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f′(x)＝－2x－1＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝(负值舍去)，
当00；当x>时，f′(x)<0> ∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，＋∞.
(2)令f(x)＝－x2＋ax＋ln x＝0，得a＝x－.
令g(x)＝x－，其中x∈，
则g′(x)＝1－＝，令g′(x)＝0，得x＝1，当≤x<1>0，
∴g(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(1,3]，

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