:2020高考数学三轮冲刺大题提分大题精做11圆锥曲线：存在性问题理

来源：快读网编辑：秩名时间：2020-03-26

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大题精做11 圆锥曲线：存在性问题
[2019·株洲一模]已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，
且轴，的周长为6．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由．
【答案】（1）；（2）当时，．
【解析】（1）由题意，，，，
∵的周长为6，∴，
∴，，∴椭圆的标准方程为．
（2）假设存在常数满足条件．
①当过点的直线的斜率不存在时，，，
∴，
∴当时，；
②当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，
联立，化简得，
∴，．
∴

，
∴，解得，即时，；
综上所述，当时，．

1．[2019·宜昌调研]已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，是椭圆的上焦点．
问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

2．[2019·江西联考]已知点为抛物线的焦点，抛物线上的点满足(为坐标原点)，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于不同的两点，，是否存在实数及定点，对任意实数，
都有？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由．

3．[2019·哈三中期末]在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，
当点在圆上运动时，设线段中点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）试问在上是否存在两点，关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过坐标
原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

1．【答案】（1）；（2）存在直线或．
【解析】（1）∵，，且有，解得，

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