:九年级数学竞赛试题
班级
姓名
成绩
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）
1、已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为（ ）
A、0
B、1
C、2
D、3
2、客运列车在哈尔滨与A站之间运行，沿途要停靠5个车站，那么哈尔滨与A站之间需要安排( )种不同的车票。
A、6
B、7
C、21
D、42
3满足(n2-n-1)n+2=1的整数n有几个？（ ）
A、4个
B、3个
C、2个
D、1个
4、某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至少可打（ ）
A、6折
B、7折
C、8折
D、9折
5、铁板甲形状是等腰三角形，其顶角为45°，腰长为20cm，铁板乙的形状是直角梯形，两底分别为7cm,16cm,且有一个角为60°，现在我们把这两块铁板任意翻转，分别试图从一个直径为14cm的圆洞中穿过，若不考虑铁板厚度，则结果是（ ）
A、甲能穿过，乙不能穿过
B、甲不能穿过，乙能穿过
C、甲、乙都能穿过
D、甲、乙都不能穿过
二、填空题（共5小题，每题6分,满分30分）
6、四个小动物排座位，一开始小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号座位上（如图所示），以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次换位后，再左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换……这样一直交换下去，问第2003次交换位置后，小兔子坐在第 号座位上。
1
2
鼠
猴
兔
猫
猫
兔
？
？
3
4
兔
猫
鼠
猴
猴
鼠
？
？
7、如图，梯形ABCD中上底AD=a，下底BC=b，
若E1、F1分别为AB、CD的中点，则E1F1=，
若E2、F2分别为AE1、DF1的中点，
则E2F2=，
若E3、F3分别为AE2、DF2的中点，
则E3F3=……
若En、Fn分别为AEn-1，DFn-1的中点，则EnFn=
（n≥1且n为整数）。
8、等腰三角形的一条腰上的高线等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角的度数等于
。
9、如图,将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作(见下图).按上边规则，完成五次操作以后，再剪去所得小正方形的左下角.问:当展开这张正方形纸片后，一共有 个小孔
（第9题）
10、如图，扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=1，点D在 弧AB 上，且 弧AD 等于2 倍的弧BD，点P是半径OB上一动点，那么PA+PD的最小值等于
。
A
D
O
P B
三、解答题（共4小题，每小题15分,满分60分）
11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）. 当时，图象是抛物线的一部分，当和时，图象是线段.
（1）当时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.
12、下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润，蔬菜公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只能装运一种蔬菜）。
①若用8辆汽车装运乙、丙两种蔬菜11吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？
②公司计划20辆汽车装甲、乙、丙三种蔬菜36吨，到B地销售（每种蔬菜不少于一车），如何安排装运，可使公司获得最大利润？最大利润是多少？
甲
乙
丙
每辆汽车能装的吨数（吨）
2
1
1.5
每吨蔬菜可获利润（元）
500
700
400
13．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得，求的值.
14、将长度为2n（n为自然数，且n）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记（a,b,c）为三边的长分别为a,b,c，且满足abc的一个三角形。
(1) 就n =4，5，6的情况，分别写出所有满足题意的（a,b,c）。
(2) 有人根据（1）中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n（n为自然数，且n）时，对应（a,b,c）的个数一定是n-3，事实上这是一个不正确的猜想。请写出n =12时所有的（a,b,c），并回答（a,b,c）的个数。
(3) 试将n =12时所有满足题意的（a,b,c），按照至少两种不同的标准进行分类。
参 考 答 案
1、D；2、D；3、A；4、B；5、B。
6、4；7、；8、300；1200；1500；9、256；10、
11、解：（1）当时，设抛物线的函数关系式为，由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以
解得，，，.
所以，. ……（5分）
（2）当时，.
所以，当时，令y=36，得，
解得x=4，（舍去）；
当时，令 y=36，得，解得
. ………（10分）
因为，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题。
12、解：（1）设装运乙种蔬菜的汽车X辆，装运丙种蔬菜的汽车（8-X）辆；
由题意得：X+1.5（8-X）=11
X=2 8-X=6
答：装运乙种蔬菜的汽车2辆，装运丙种蔬菜的汽车6辆。
（2）设装运甲种蔬菜的汽车X辆，装运乙种蔬菜的汽车Y辆，装运丙种蔬菜的汽车Z辆，公司获得利润W元；
由题意得：2X+Y+1.5Z=36 (1)
X+Y+Z=20 (2)
由（1）（2）得：X=16-0.5Z
Y=4-0.5Z
W=1000X+700Y+600Z
=1000(16-0.5Z)+700(4-0.5Z)+600Z
=-250Z+18800
由每种蔬菜不少于一车得：16-0.5Z1；4-0.5Z1；Z1；
得：1Z6
X、Y都为整数 Z最小只能取2；
当Z=2时；公司获得利润W最大为18300元。
答：当装运甲种蔬菜的汽车15辆，装运乙种蔬菜的汽车3辆；装运丙种蔬菜的汽车2辆时，可使公司获得最大利润，最大利润是18300元。
13.解：连结AP，则，
所以，△APB∽△ADP， …………………………（5分）
∴，
所以，
∴，
…………………………（10分）
所以. …………………………（15分）
（第13（A）题图）
14、提示：
（1）当n=4时,(2,3,3); 当n=5时(2,4,4)，(3,3,4)；当n=6时，(2,5,5)，(3,4,5)，(4,4,4)。
（2）当n=12时,a+b+c=24,且a+b> c, abc,得7c11,即c=8,9,10,11,故可得 (a,b,c)共12组：A（2，11，11），B（3，10，11），C（4，9，11），D（5，8，11），E（6，7，11），F（4，10，10），G（5，9，10），H（6，8，10），I（7，7，10），J（6，9，9），K（7，8，9），L（8，8，8）。
（3）1、按边分类：（1）等腰三角形：A，F，I，J，L；（2）不等腰三角形：B，C，D，E，G，H，K。
2、按角分类：（1）锐角三角形：A，F，G，I，J，K，L；（2）直角三角形：H；（3）钝角三角形：B，C，D，E。
