:江苏省苏州市高三（上）2012--2018届数学期末汇编：实际应用

:1. （2018·苏州期末·17）如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50处．从海岛A到城市C，先乘船按北偏西θ角（，其中锐角的正切值为）航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽车到城市C．已知船速为25km/h，车速为75km/h.
（1）试建立由A经P到C所用时间与的函数解析式；
（2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由．








【答案】解（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，所以，，
则，．
． 4分
（注：AP，BP写对一个给2分）
由A到P所用的时间为，
由P到C所用的时间为， 6分
所以由A经P到C所用时间与θ的函数关系为
． 8分
函数的定义域为，其中锐角的正切值为.
（2）由（1），，，
，令，解得， 10分
设θ0Î，使


θ0



0


减函数
极小值
增函数
12分
所以，当时函数f(θ)取得最小值，此时BP=≈17.68 ，
答：在BC上选择距离B为17.68 处为登陆点，所用时间最少． 14分
（注：结果保留根号，不扣分）
2. （苏州市2017届高三上学期期末18.）某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（如图1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下，

其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥顶，并且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y=（x∈[﹣2，2]），曲线段AB，DE均为开口向上的抛物线段，且A，E分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔接处（B，D）的切线的斜率相等．
（1）曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；
（2）车辆从A经B到C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：M=（该点P与桥顶间的水平距离）×（设计图纸上该点