:2019版八下数学第一章三角形的证明测试题（北师大版含解析）

第一章　三角形的证明
　　1.等腰三角形的性质与判定的应用
(1)应用等腰三角形的性质证明线段或角相等
【例1】如图，∠ABC=90°①，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE②.点F是AE的中点③，FD与AB相交于点M.
 
(1)求证：∠FMC=∠FCM.
(2)AD与MC垂直吗④?并说明理由⑤.
【信息解读?破译解题秘钥】
信息①直译为：△ABC是直角三角形，进而得到∠DCF与∠MAC互余；
信息②翻译为：△ADE是等腰直角三角形；
信息③直译为：AF=EF；
破译：整合条件②③，得到DF⊥AE，DF=AF=EF.
破译：整合条件①②③，得到∠AMF与∠MAC互余，结合①可得∠DCF=∠AMF，根据“AAS”定理判定△DFC≌△AFM，进而得到∠FMC=∠FCM.
信息④翻译为：猜想结论“AD⊥MC”.
信息⑤翻译为：根据已知条件，构建图形：延长AD交MC于点G，进而推理说明“AD⊥MC”.
破译：整合条件①②③④，得到∠FDE=∠FMC=45°，进而得到DE∥CM，说明AG⊥MC，即AD⊥MC.
【标准解答】(1)∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF.
又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF.
又∵∠DFC=∠AFM=90°，∴△DFC≌△AFM(AAS).∴CF=MF.
∴∠FMC=∠FCM.
(2)AD⊥MC.
理由如下：如图，延长AD交MC于点G.
由(1)知∠MFC=90°，FD=FE，FM=FC.
∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM.∴∠AGC=∠ADE=90°，∴AG⊥MC，即AD⊥MC.
(2)判定一个三角形是否为等腰三角形时，我们经常首先考虑等腰三角形的定义，其次考虑等腰三角形的判定定理.
【例2】已知：如图，在△ABC中，点D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC.
 
【标准解答】∵AD平分∠EDC，
∴∠ADE=∠ADC，∵DE=DC，AD=AD，