:2020年锦州市义务教育新课程初中学业考试数学试题、参考答案及评分标准
※考试时间120分钟,试卷满分120分.
提示:1.允许使用科学计算器;
2.选择题、填空题可直接写出结果,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,请将正确答案的序号填入题后的括号内,本题共7个小题,每小题3分,共21分)
1.下列一组几何体的俯视图是( )
2.下列运算正确的是( )
A.x2+x3=x5 B.(2x2)3=2x6 C.x6÷x2=x3 D.3x2·2x3=6x5
3.将下列各纸片沿虚线剪开后,能拼成右图的是( )
4.不等式组的解集为( )
A.-1<x<2 B.-1<x≤2 C.x<-1 D.x≥2
5.“五·一”黄金周过后,八年(一)班班主任对全班52名学生外出旅游的天数进行了调查统计,结果如下表所示:
旅游天数(天)
0
1
2
3
4
5
6
7
人数(人)
5
6
12
11
10
5
3
0
则该班学生外出旅游天数的众数和中位数分别是( )
A.2, 3 B.2, 2 C.7, 3.5 D.12, 10.5
6.锦州市宝石广场占地面积约为12555米2,它的面积与一个班级教室面积的倍数关系,下列最接近的是( )
A.40倍 B.80倍 C.100倍 D.150倍
7.如图是水滴入一个玻璃容器的示意图(滴水速度保持不变),下列图象能正确反映容器中水的高度(h)与时间(t)之间函数关系的是( )
二、填空题(本题共9个小题,每小题3分,共27分)
8.若多项式4a2+M能用平方差公式分解因式,则单项式M=____(写出一个即可).
9.2005年10月17日新华网报道:“5天前从酒泉卫星发射中心启航的神舟六号飞船,在平安飞行115小时32分后重返神州.”用科学记数法表示神舟六号飞船飞行的时间是____秒(保留三个有效数字).
10.若反比例函数的图象经过点(-2,3),则这个反比例函数的表达式为____.
11.锦州市住宅电话号码是由7位数字组成,某人到电信公司申请安装一部住宅电话,那么该公司配送给这部电话的号码末尾数字为6的概率是____.
12.已知二次函数的图象开口向上,且顶点在y轴的负半轴上,请你写出一个满足条件的二次函数的表达式____.
13.体育老师对甲、乙两名同学分别进行了5次立定跳远测试,经计算这两名同学成绩的平均数相同,甲同学成绩的方差是0.03,乙同学的成绩(单位:m)如下:2.3 2.2 2.5 2.1 2.4,那么这两名同学立定跳远成绩比较稳定的是____同学.
14.如图,将边长为a的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚,当正方形翻滚一周时,正方形的中心O所经过的路径长为____.
15.点P是△ABC中AB边上的一点,过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似.满足这样条件的直线最多有____条.
16.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=a,BC=b.若E1、F1分别是AB、DC的中点,则;若分别是的中点,则;当分别是的中点,则;若分别是的中点,根据上述规律猜想EnFn=____(n≥1,n为整数).
三、解答题(本题共2个小题,每小题5分,共10分)
17.计算:.
18.如图,我们称每个小正方形的顶点为“格点”,以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”.根据图形解答下列问题:
(1)图中的格点△DEF是由格点△ABC通过怎样的变换得到的?(写出变换过程)
(2)在图中建立适当的直角坐标系,写出△DEF各顶点的坐标.
四、解答题(本题共3个小题,每小题6分,共18分)
19.锦州市疏港快速干道(锦州至笔架山)将于2006年8月正式通车.届时锦州至笔架山的公路运行里程将由目前的34千米缩短至28千米,设计时速是现行时速的1.25倍,汽车运行时间将缩短0.145小时.求疏港快速干道的设计时速.
20.某中学进行体育教学改革,同时开设篮球、排球、足球、体操课,学生可根据自己的爱好任选其一.体育老师根据九年级学生的报名情况进行了统计,并绘制了下面尚未完整的频数分布直方图和扇形统计图.请根据统计图解答下列问题:
(1)该校九年级共有多少名学生?
(2)将两个统计图补充完整;
(3)从统计图中你还能得到哪些信息?(写出两条即可)
21.甲、乙两队进行拔河比赛,裁判员让两队队长用“石头、剪子、布”的手势方式选择场地位置.规则是:石头胜剪子,剪子胜布,布胜石头,手势相同再决胜负.请你说明裁判员的这种作法对甲、乙双方是否公平,为什么?(用树状图或列表法解答)
五、解答题(本题共2个小题,每小题7分,共14分)
22.在一次研究性学习活动中,李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形,方法是(如图):画线段AB,分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点C,连接AC;再以点C为圆心,以AC长为半径画弧,交AC延长线于点D,连接DB.则△ABD就是直角三角形.
(1)请你说明其中的道理;
(2)请利用上述方法作一个直角三角形,使其一个锐角为30°(不写作法,保留作图痕迹).
23.如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,∠CAB的角平分线AE交BC于点D,交半圆O于点E.若AB=10,tan∠CAB=,求线段BC和CD的长.
六、解答题(本题共9分)
24.小刚家装修,准备安装照明灯.他和爸爸到市场进行调查,了解到某种优质品牌的一盏40瓦白炽灯的售价为1.5元,一盏8瓦节能灯的售价为22.38元,这两种功率的灯发光效果相当.假定电价为0.45元/度,设照明时间为x(小时),使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为y1(元)和y2(元)[耗电量(度)=功率(千瓦)×用电时间(小时),费用=电费+灯的售价].
(1)分别求出y1、y2与照明时间x之间的函数表达式;
(2)你认为选择哪种照明灯合算?
(3)若一盏白炽灯的使用寿命为2000小时,一盏节能灯的使用寿命为6000小时,如果不考虑其他因素,以6000小时计算,使用哪种照明灯省钱?省多少钱?
七、解答题(本题共9分)
25.如图,△ABC是等腰直角三角形,其中CA=CB,四边形CDEF是正方形,连接AF、BD.
(1)观察图形,猜想AF与BD之间有怎样的关系,并证明你的猜想;
(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转,使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部,请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,题(1)中猜想的结论是否仍然成立?若成立,直接写出结论,不必证明;若不成立,请说明理由.
八、解答题(本题共12分)
26.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C的坐标为(4,0),∠AOC=60°,垂直于x轴的直线l从y轴出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).
(1)求A、B两点的坐标;
(2)设△OMN的面积为S,直线l运动时间为t秒(0≤t≤6),试求S与t的函数表达式;
(3)在题(2)的条件下,t为何值时,S的面积最大?最大面积是多少?
参考答案及评分标准
说明:1.在阅卷过程中,如考生还有其他正确解法,可参照评分标准按相应的步骤赋分.
2.只给整数分数.
一、选择题(本题共7个小题,每小题3分,共21分)
1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.D 7.C
二、填空题(本题共9个小题,每小题3分,共27分)
8.答案不惟一,只要符合要求即可.如:-b2 9.4.16×105
10. 11.
12.答案不惟一,只要符合要求即可.如:y=x2-2
13.乙
14. 15.4
16.
三、解答题(本题共2个小题,每小题5分,共10分)
17.解:原式= ……4分
. ……5分
18.解:(1)答案不惟一,只要合理即可得2分.如:
方法一:将△ABC以点C为旋转中心,按逆时针方向旋转90°得到△A1B1C,再将△A1B1C向右平移3个格就得到△DEF;
方法二:将△ABC向右平移3个格得到△A1B1C1,再将△A1B1C1以点C1为旋转中心,按逆时针方向旋转90°就得到了△DEF;
方法三:将△ABC以点B为旋转中心,按逆时针方向旋转90°得到△A1BC1,再将△A1BC1向下平移4个格得到△A2B2C2,再将△A2B2C2向右平移7个格就得到了△DEF.
方法四:将△ABC以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1,再将△AB1C1向下平移4个格得到△A2B2C2,再将△A2B2C2向下平移5个格就得到了△DEF.
(2)答案不惟一,只要正确建立直角坐标系并正确写出各点坐标,即可得3分.如:
方法一:如图①建立直角坐标系,则点D(0,0)、E(2,-1)、F(2,3);
方法二:如图②建立直角坐标系,则点D(-2,0)、E(0,-1)、F(0,3);
方法三:如图③建立直角坐标系,则点D(-2,-3)、E(0,-4)、F(0,0);
方法四:如图④建立直角坐标系,则点D(-2,1)、E(0,0)、F(0,4).
四、解答题(本题共3个小题,每小题6分,共18分)
19.解:方法一:
设现行时速是x千米/时,则疏港快速干道的设计时速是1.25x千米/时.……1分
根据题意,得.……3分
解这个方程,得x=80.……4分
经检验,x=80是所列方程的根.
1.25×80=100(千米/时).
答:疏港快速干道的设计时速是100千米/时. ……6分
方法二:设疏港快速干道的设计时速是x千米/时,则现行时速是0.8x千米/时.……1分
根据题意,得.
解这个方程,得x=100.……4分
经检验,x=100是所列方程的根.
答:疏港快速干道的设计时速是100千米/时.……6分
20.解:(1)由统计图得,108÷30%=360,∴该校九年级共有360名学生.……1分
(2)补全直方图得1分,补全扇形统计图得2分,两个统计图都补全可得3分.
补全的两个统计图如下:
(3)此题是开放性试题,答案不惟一,合理即可得分,写出一条信息得1分,本题共2分.
①九年级学生选学体操的人数最多;
②九年级学生选学排球的人数最少;
③选学篮球的人数是九年级学生总人数的25%(或);
④选学足球的人数是九年级学生总人数的25%(或);
⑤选学体操的人数是九年级学生总人数的30%;
⑥九年级学生选学体操的人数比选学足球的人数多18人;
⑦九年级学生选学体操的人数比选学篮球的人数多18人;
⑧九年级学生选学篮球的人数比选学排球的人数多18人;
⑨九年级学生选学足球的人数比选学排球的人数多18人;
⑩九年级学生选学体操的人数比选学排球的人数多36人;
九年级学生选学足球的人数与选学篮球的人数相同;
九年级学生选学项目的众数是体操;
九年级学生选学篮球、排球人数的比为5:4;
九年级学生选学体操、足球人数的比为6:5;
九年级学生选学篮球、排球、足球、体操人数的比为5:4:5:6.
21.解:裁判员的这种作法对甲、乙双方是公平的.……1分
理由:方法一:用列表法得出所有可能的结果如下:
甲
乙
石头
剪子
布
石头
(石头,石头)
(石头,剪子)
(石头,布)
剪子
(剪子,石头)
(剪子,剪子)
(剪子,布)
布
(布,石头)
(布,剪子)
(布,布)
……3分
根据表格得,P(甲获胜)=,P(乙获胜)=.……5分
∵P(甲获胜)=P(乙获胜),
∴裁判员这种作法对甲、乙双方是公平的.……6分
方法二:用树状图得出所有可能的结果如下:
……3分
根据树状图,P(甲获胜)=,P(乙获胜)=.……5分
∵P(甲获胜)=P(乙获胜),
∴裁判员这种作法对甲、乙双方是公平的.……6分
五、解答题(本题共2个小题,每小题7分,共14分)
22.解:(1)理由:
方法一:连接BC.
由作图可知,AC=BC=CD,
∴∠A=∠ABC,∠CBD=∠CDB.……1分
∵∠A+∠ABC+∠CBD+∠CDB=180°,
∴2∠ABC+2∠CBD=180°.
∴∠ABC+∠CBD=90°.即∠ABD=90°.
∴△ABD是直角三角形.……3分
方法二:连接BC.
由作图可知,AC=BC=CD,AD=AC+CD.……1分
∴BC=AD.……2分
∴△ABC是直角三角形.……3分
(2)如图所示,……7分
则△EFG就是所求作的直角三角形,其中∠EGF=30°.
23.解:方法一:
∵AB是半圆O的直戏,∴∠C=90°.
在Rt△ABC中,∵,
∴.……1分
设AC=4k,BC=3k.
∵AC2+BC2=AB2,AB=10,
∴(4k)2+(3k)2=100,解得k1=2,k2=-2(舍去).
∴AC=8,BC=6.……3分
过点D作DF⊥AB于F.
∵AD是∠CAB的角平分线,∴CD=DF.
∵∠DFB=∠ACB=90°,∠DBF=∠ABC,
∴△DBF∽△ABC.……5分
∴.即.……6分
∴CD=.……7分
方法二:求AC、BC的方法同上.……3分
过点D作DF⊥AB于F.
∵AD是∠CAB的角平分线,
∴CD=DF.
∵AD=AD,∴△ACD≌△AFD. ∵AF=AC=8,BF=AB-AF=2.……5分
∵∠CAB+∠B=90°,∠FDB+∠B=90°,∴∠FDB=∠CAB.
∴.……6分
∴.
∴.……7分
六、解答题(本题共9分)
24.解:(1)根据题意,得,即;……2分
,即.……4分
(2)由y1=y2,得0.018x+1.5=0.0036x+22.38,解得x=1450;……5分
由y1>y2,得0.018x+1.5>0.0036x+22.38,解得x>1450;……6分
由y1<y2,得0.018x+1.5<0.0036x+22.38,解得x<1450.……7分
∴当照明时间为1450小时时,选择两种灯的费用相同;当照明时间超过1450小时时,选择节能灯合算;当照明时间少于1450小时时,选择白炽灯合算.
(3)由(2)知当x>1450小时时,使用节能灯省钱.
当x=2000时,y1=0.018×2000+1.5=37.5(元);
当x=6000时,y2=0.0036×6000+22.38=43.98(元),
∴3×37.5-43.98=68.52(元).
∴按6000小时计算,使用节能灯省钱,省68.52元.……9分
注:如果把x=6000小时直接代入y1=0.018x+1.5中,扣1分.
七、解答题(本题共9分)
25.(1)猜想:AF=BD且AF⊥BD.……1分
证明:设AF与DC交点为G.
∵FC=DC,AC=BC,∠BCD=∠BCA+∠ACD,
∠ACF=∠DCF+∠ACD,∠BCA=∠DCF=90°,
∴∠BCD=∠ACF.
∴△ACF≌△BCD.
∴AF=BD.……4分
∴∠AFC=∠BDC.
∵∠AFC+∠FGC=90°, ∠FGC=DGA,
∴∠BDC+∠DGA=90°.
∴AF⊥BD.……7分
∴AF=BD且AF⊥BD.
(2)结论:AF=BD且AF⊥BD.
图形不惟一,只要符合要求即可.
画出图形得1分,写出结论得1分,此题共2分.如:
①CD边在△ABC的内部时; ②CF边在△ABC的内部时.
八、解答题(本题共12分)
26.解:(1)∵四边形OABC为菱形,点C的坐标为(4,0),
∴OA=AB=BC=CO=4.
过点A作AD⊥OC于D.
∵∠AOC=60°,∴OD=2,AD=2.
∴A(2,2),B(6,2).……3分
(2)直线l从y轴出发,沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况:
①0≤t≤2时,直线l与OA、OC两边相交(如图①).
∵MN⊥OC,∴ON=t. ∴MN=ONtan60°=t.
∴.……4分
②当2<t≤4时,直线l与AB、OC两边相交(如图②).
S=ON·MN=×t×2=t.……6分
③当4<t≤6时,直线l与AB、BC两边相交(如图③).
方法一:设直线l与x轴交于点H.
∵MN=2-(t-4)=6-t,
∴
.……8分
方法二:设直线l与x轴交于点H.
∵S=S△OMH-S△ONH,
∴
.……8分
方法三:设直线l与x轴交于点H.
∵S=S菱形OABC-S△OAM-S△ONC-S△BMN,
,
,
,
,
∴.……8分
(3)由(2)知,当0≤t≤2时,,
当2<t≤4时,,……9分
当4<t≤6时,配方得,
∴当t=3时,函数的最大值是.
但t=3不在4<t≤6内,∴在4<t≤6内,函数的最大值不是.
而当t>3时,函数随t的增大而减小,
∴当4<t≤6时,S<4.……11分
综上所述,当t=4秒时,.……12分
注:若考生讨论时分为0≤t≤2,2≤t≤4,4≤t≤6情况,只要答案正确,即可按标准赋分.
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